Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\left(3 x - 7\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x - 3} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 1}\right|}} + \frac{\left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{x - 3} - \frac{6 \left(3 x - 7\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}} \left(x - 1\right)} + \frac{6 \left(3 x - 5\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}} \left(x - 1\right)} - \frac{3 \left(3 x - 7\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{5}{3}}}}{9 \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 37312.5661958029$$
$$x_{2} = 22901.6265955635$$
$$x_{3} = 9333.72299208639$$
$$x_{4} = 39855.5482315502$$
$$x_{5} = 17814.7711043455$$
$$x_{6} = 10182.2002578247$$
$$x_{7} = 21206.0734395277$$
$$x_{8} = 20358.2754089519$$
$$x_{9} = 38160.2293771909$$
$$x_{10} = 16966.8904588756$$
$$x_{11} = 34769.5594426879$$
$$x_{12} = 26292.5999164003$$
$$x_{13} = 41550.8580941089$$
$$x_{14} = 28835.7442525467$$
$$x_{15} = 40703.2042167059$$
$$x_{16} = 23749.3847748592$$
$$x_{17} = 27140.3215820499$$
$$x_{18} = 12726.9380262103$$
$$x_{19} = 19510.4606000551$$
$$x_{20} = 36464.9002793429$$
$$x_{21} = 13575.0244876804$$
$$x_{22} = 18662.6267350704$$
$$x_{23} = 33074.2050659678$$
$$x_{24} = 24597.1323743908$$
$$x_{25} = 25444.8704486255$$
$$x_{26} = 30531.1431906979$$
$$x_{27} = 33921.8840734515$$
$$x_{28} = 39007.8900014853$$
$$x_{29} = 35617.2314329228$$
$$x_{30} = 32226.5221337736$$
$$x_{31} = 11878.7831491026$$
$$x_{32} = 22053.8566204198$$
$$x_{33} = 31378.8349595207$$
$$x_{34} = 29683.4464346219$$
$$x_{35} = 15271.0375366075$$
$$x_{36} = 27988.0361527052$$
$$x_{37} = 16118.980869059$$
$$x_{38} = 11030.5441805091$$
$$x_{39} = 14423.0545404197$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[32226.5221337736, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 10182.2002578247\right]$$