Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(((x-1)^2)*(x-3))

Gráfico de la función y = cbrt(((x-1)^2)*(x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________________
       3 /        2         
f(x) = \/  (x - 1) *(x - 3)
f(x)=(x−3)(x−1)23f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} 
f = ((x - 3)*(x - 1)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−3)(x−1)23=0\sqrt[3]{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)^2*(x - 3))^(1/3).
(−3)(−1)23\sqrt[3]{\left(-3\right) \left(-1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−33f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{-3}
Punto:
(0, (-3)^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−33∣x−1∣23((x−3)(2x−2)3+(x−1)23)(x−3)(x−1)2=0\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x - 2\right)}{3} + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=73x_{1} = \frac{7}{3}
Signos de extremos en los puntos:
        3 ____  2/3 
      2*\/ -1 *2    
(7/3, -------------)
            3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(3x−7)(2x−33sign⁡(x−1)∣x−1∣3+∣x−1∣23(x−3)23)x−3−6(3x−7)∣x−1∣23(x−3)23(x−1)+6(3x−5)∣x−1∣23(x−3)23(x−1)−3(3x−7)∣x−1∣23(x−3)539(x−1)=0\frac{\frac{\left(3 x - 7\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x - 3} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 1}\right|}} + \frac{\left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{x - 3} - \frac{6 \left(3 x - 7\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}} \left(x - 1\right)} + \frac{6 \left(3 x - 5\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}} \left(x - 1\right)} - \frac{3 \left(3 x - 7\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{5}{3}}}}{9 \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=37312.5661958029x_{1} = 37312.5661958029
x2=22901.6265955635x_{2} = 22901.6265955635
x3=9333.72299208639x_{3} = 9333.72299208639
x4=39855.5482315502x_{4} = 39855.5482315502
x5=17814.7711043455x_{5} = 17814.7711043455
x6=10182.2002578247x_{6} = 10182.2002578247
x7=21206.0734395277x_{7} = 21206.0734395277
x8=20358.2754089519x_{8} = 20358.2754089519
x9=38160.2293771909x_{9} = 38160.2293771909
x10=16966.8904588756x_{10} = 16966.8904588756
x11=34769.5594426879x_{11} = 34769.5594426879
x12=26292.5999164003x_{12} = 26292.5999164003
x13=41550.8580941089x_{13} = 41550.8580941089
x14=28835.7442525467x_{14} = 28835.7442525467
x15=40703.2042167059x_{15} = 40703.2042167059
x16=23749.3847748592x_{16} = 23749.3847748592
x17=27140.3215820499x_{17} = 27140.3215820499
x18=12726.9380262103x_{18} = 12726.9380262103
x19=19510.4606000551x_{19} = 19510.4606000551
x20=36464.9002793429x_{20} = 36464.9002793429
x21=13575.0244876804x_{21} = 13575.0244876804
x22=18662.6267350704x_{22} = 18662.6267350704
x23=33074.2050659678x_{23} = 33074.2050659678
x24=24597.1323743908x_{24} = 24597.1323743908
x25=25444.8704486255x_{25} = 25444.8704486255
x26=30531.1431906979x_{26} = 30531.1431906979
x27=33921.8840734515x_{27} = 33921.8840734515
x28=39007.8900014853x_{28} = 39007.8900014853
x29=35617.2314329228x_{29} = 35617.2314329228
x30=32226.5221337736x_{30} = 32226.5221337736
x31=11878.7831491026x_{31} = 11878.7831491026
x32=22053.8566204198x_{32} = 22053.8566204198
x33=31378.8349595207x_{33} = 31378.8349595207
x34=29683.4464346219x_{34} = 29683.4464346219
x35=15271.0375366075x_{35} = 15271.0375366075
x36=27988.0361527052x_{36} = 27988.0361527052
x37=16118.980869059x_{37} = 16118.980869059
x38=11030.5441805091x_{38} = 11030.5441805091
x39=14423.0545404197x_{39} = 14423.0545404197

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32226.5221337736,∞)\left[32226.5221337736, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,10182.2002578247]\left(-\infty, 10182.2002578247\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−3)(x−1)23=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x−3)(x−1)23=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)^2*(x - 3))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−33∣x−1∣23x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x−33∣x−1∣23x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−3)(x−1)23=−x−33∣x+1∣23\sqrt[3]{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} = \sqrt[3]{- x - 3} \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
(x−3)(x−1)23=−−x−33∣x+1∣23\sqrt[3]{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2}} = - \sqrt[3]{- x - 3} \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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