Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(\frac{\sqrt[3]{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 \left(x^{2} - 16\right)} - \frac{1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{- \frac{17}{10} + \frac{3 \sqrt{41}}{10}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{- \frac{17}{10} + \frac{3 \sqrt{41}}{10}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt[3]{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 \left(x^{2} - 16\right)} - \frac{1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt[3]{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 \left(x^{2} - 16\right)} - \frac{1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}{x^{2} - 16}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt[3]{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 \left(x^{2} - 16\right)} - \frac{1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt[3]{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 \left(x^{2} - 16\right)} - \frac{1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt{- \frac{17}{10} + \frac{3 \sqrt{41}}{10}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 \sqrt{- \frac{17}{10} + \frac{3 \sqrt{41}}{10}}, \infty\right)$$