Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((1-x)(x+2)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((1-x)(x+2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________________
       3 /                2 
f(x) = \/  (1 - x)*(x + 2)
f(x)=(1−x)(x+2)23f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} 
f = ((1 - x)*(x + 2)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1−x)(x+2)23=0\sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((1 - x)*(x + 2)^2)^(1/3).
22(1−0)3\sqrt[3]{2^{2} \left(1 - 0\right)}
Resultado:
f(0)=223f{\left(0 \right)} = 2^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, 2^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−x3∣x+2∣23((1−x)(2x+4)3−(x+2)23)(1−x)(x+2)2=0\frac{\sqrt[3]{1 - x} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(1 - x\right) \left(2 x + 4\right)}{3} - \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{3}\right)}{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
     2/3 
(0, 2   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(21−x3sign⁡(x+2)∣x+2∣3−∣x+2∣23(1−x)23)3(x−1)+2x∣x+2∣23(1−x)23(x+2)−x∣x+2∣23(1−x)53−2(x+1)∣x+2∣23(1−x)23(x+2)x+2=0\frac{\frac{x \left(\frac{2 \sqrt[3]{1 - x} \operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|}} - \frac{\left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(1 - x\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{2 x \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(1 - x\right)^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right)} - \frac{x \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(1 - x\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \left(x + 1\right) \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(1 - x\right)^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right)}}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13338.0614372524x_{1} = -13338.0614372524
x2=−33690.8948320409x_{2} = -33690.8948320409
x3=−39625.1340051939x_{3} = -39625.1340051939
x4=−40472.8582314893x_{4} = -40472.8582314893
x5=−15035.2063061491x_{5} = -15035.2063061491
x6=−17580.2189702263x_{6} = -17580.2189702263
x7=−20972.7349632907x_{7} = -20972.7349632907
x8=−26060.4805406553x_{8} = -26060.4805406553
x9=−32843.1165057232x_{9} = -32843.1165057232
x10=−29451.9026300629x_{10} = -29451.9026300629
x11=−31147.5313298778x_{11} = -31147.5313298778
x12=−37929.6694184806x_{12} = -37929.6694184806
x13=−35386.42638825x_{13} = -35386.42638825
x14=−25212.5825983156x_{14} = -25212.5825983156
x15=−21820.7615295494x_{15} = -21820.7615295494
x16=−34538.6645869301x_{16} = -34538.6645869301
x17=−18428.4208038002x_{17} = -18428.4208038002
x18=−30299.7228787142x_{18} = -30299.7228787142
x19=−24364.6641301166x_{19} = -24364.6641301166
x20=−16731.9561982483x_{20} = -16731.9561982483
x21=−36234.1807958664x_{21} = -36234.1807958664
x22=−19276.5697852108x_{22} = -19276.5697852108
x23=−22668.7563612014x_{23} = -22668.7563612014
x24=−27756.2223998795x_{24} = -27756.2223998795
x25=−37081.9283182998x_{25} = -37081.9283182998
x26=−38777.4045187459x_{26} = -38777.4045187459
x27=−14186.6921646078x_{27} = -14186.6921646078
x28=−26908.3599048931x_{28} = -26908.3599048931
x29=−31995.3289244148x_{29} = -31995.3289244148
x30=−12489.2901705655x_{30} = -12489.2901705655
x31=−28604.0695311015x_{31} = -28604.0695311015
x32=−41320.5775221991x_{32} = -41320.5775221991
x33=−15883.6226628497x_{33} = -15883.6226628497
x34=−20124.672630348x_{34} = -20124.672630348
x35=−11640.3473623964x_{35} = -11640.3473623964
x36=−23516.7229061245x_{36} = -23516.7229061245
x37=−42168.2921757249x_{37} = -42168.2921757249

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−11640.3473623964,∞)\left[-11640.3473623964, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−35386.42638825]\left(-\infty, -35386.42638825\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−x)(x+2)23=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(1−x)(x+2)23=∞−13\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 - x)*(x + 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−x3∣x+2∣23x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{1 - x} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(1−x3∣x+2∣23x)=−13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{1 - x} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−13xy = \sqrt[3]{-1} x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1−x)(x+2)23=x+13∣x−2∣23\sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} = \sqrt[3]{x + 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
(1−x)(x+2)23=−x+13∣x−2∣23\sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)^{2}} = - \sqrt[3]{x + 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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