Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos +4x- cinco)/(x+ dos)^ tres
- (x al cuadrado más 4x menos 5) dividir por (x más 2) al cubo
- (x en el grado dos más 4x menos cinco) dividir por (x más dos) en el grado tres
- (x2+4x-5)/(x+2)3
- x2+4x-5/x+23
- (x²+4x-5)/(x+2)³
- (x en el grado 2+4x-5)/(x+2) en el grado 3
- x^2+4x-5/x+2^3
- (x^2+4x-5) dividir por (x+2)^3
-
Expresiones semejantes
- (x^2+4x-5)/(x-2)^3
- (x^2-4x-5)/(x+2)^3
- (x^2+4x+5)/(x+2)^3
Gráfico de la función y = (x^2+4x-5)/(x+2)^3
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + 4*x - 5
f(x) = ------------
3
(x + 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}$$
f = (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 4}{\left(x + 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3} - 2, -2 + 3 \sqrt{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3} - 2\right] \cup \left[-2 + 3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 4}{\left(x + 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 3 *\-13 + \-2 + 3*\/ 3 / + 12*\/ 3 /
(-2 + 3*\/ 3, ----------------------------------------)
243 / 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 3 *\-13 + \-2 - 3*\/ 3 / - 12*\/ 3 /
(-2 - 3*\/ 3, ------------------------------------------)
243 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3} - 2, -2 + 3 \sqrt{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3} - 2\right] \cup \left[-2 + 3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{6} - 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + 3 \sqrt{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{6} - 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{6} - 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + 3 \sqrt{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{6} - 2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = - \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = - \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico