Sr Examen

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(x^2+4x-5)/(x+2)^3
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+4x-5)/(x+2)^3

Gráfico de la función y = (x^2+4x-5)/(x+2)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  + 4*x - 5
f(x) = ------------
                3  
         (x + 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}$$ 
f = (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3.
$$\frac{-5 + \left(0^{2} + 0 \cdot 4\right)}{2^{3}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{5}{8}$$
Punto:
(0, -5/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 4}{\left(x + 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
                     /                    2           \ 
                 ___ |      /         ___\         ___| 
          ___  \/ 3 *\-13 + \-2 + 3*\/ 3 /  + 12*\/ 3 / 
(-2 + 3*\/ 3, ----------------------------------------)
                                 243                    

                      /                    2           \  
                  ___ |      /         ___\         ___|  
          ___  -\/ 3 *\-13 + \-2 - 3*\/ 3 /  - 12*\/ 3 /  
(-2 - 3*\/ 3, ------------------------------------------)
                                  243


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3} - 2, -2 + 3 \sqrt{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3} - 2\right] \cup \left[-2 + 3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{6} - 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + 3 \sqrt{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{6} - 2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = - \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+4x-5)/(x+2)^3
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