Sr Examen

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(x^2+4x-5)/(x+2)^3
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+4x-5)/(x+2)^3

Gráfico de la función y = (x^2+4x-5)/(x+2)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  + 4*x - 5
f(x) = ------------
                3  
         (x + 2)
f(x)=(x2+4x)−5(x+2)3f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} 
f = (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+4x)−5(x+2)3=0\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−5x_{2} = -5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3.
−5+(02+0⋅4)23\frac{-5 + \left(0^{2} + 0 \cdot 4\right)}{2^{3}}
Resultado:
f(0)=−58f{\left(0 \right)} = - \frac{5}{8}
Punto:
(0, -5/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+4(x+2)3−3((x2+4x)−5)(x+2)4=0\frac{2 x + 4}{\left(x + 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+33x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}
x2=−33−2x_{2} = - 3 \sqrt{3} - 2
Signos de extremos en los puntos:
                     /                    2           \ 
                 ___ |      /         ___\         ___| 
          ___  \/ 3 *\-13 + \-2 + 3*\/ 3 /  + 12*\/ 3 / 
(-2 + 3*\/ 3, ----------------------------------------)
                                 243                    

                      /                    2           \  
                  ___ |      /         ___\         ___|  
          ___  -\/ 3 *\-13 + \-2 - 3*\/ 3 /  - 12*\/ 3 /  
(-2 - 3*\/ 3, ------------------------------------------)
                                  243


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−33−2x_{1} = - 3 \sqrt{3} - 2
Puntos máximos de la función:
x1=−2+33x_{1} = -2 + 3 \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
[−33−2,−2+33]\left[- 3 \sqrt{3} - 2, -2 + 3 \sqrt{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−33−2]∪[−2+33,∞)\left(-\infty, - 3 \sqrt{3} - 2\right] \cup \left[-2 + 3 \sqrt{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−5+6(x2+4x−5)(x+2)2)(x+2)3=0\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+36x_{1} = -2 + 3 \sqrt{6}
x2=−36−2x_{2} = - 3 \sqrt{6} - 2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2

lim⁡x→−2−(2(−5+6(x2+4x−5)(x+2)2)(x+2)3)=∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→−2+(2(−5+6(x2+4x−5)(x+2)2)(x+2)3)=−∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(-5 + \frac{6 \left(x^{2} + 4 x - 5\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2+36,∞)\left[-2 + 3 \sqrt{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−36−2]\left(-\infty, - 3 \sqrt{6} - 2\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+4x)−5(x+2)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x2+4x)−5(x+2)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 4*x - 5)/(x + 2)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+4x)−5x(x+2)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2+4x)−5x(x+2)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+4x)−5(x+2)3=x2−4x−5(2−x)3\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}
- No
(x2+4x)−5(x+2)3=−x2−4x−5(2−x)3\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{3}} = - \frac{x^{2} - 4 x - 5}{\left(2 - x\right)^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+4x-5)/(x+2)^3
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