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Trazado el gráfico de la función/ -5x+15arctg(15x)

Gráfico de la función y = -5x+15arctg(15x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -5*x + 15*atan(15*x)
f(x)=−5x+15atan⁡(15x)f{\left(x \right)} = - 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)} 
f = -5*x + 15*atan(15*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−5x+15atan⁡(15x)=0- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=4.66956131422407x_{1} = 4.66956131422407
x2=0x_{2} = 0
x3=−4.66956131422407x_{3} = -4.66956131422407
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -5*x + 15*atan(15*x).
−0+15atan⁡(0⋅15)- 0 + 15 \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 15 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5+225225x2+1=0-5 + \frac{225}{225 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−21115x_{1} = - \frac{2 \sqrt{11}}{15}
x2=21115x_{2} = \frac{2 \sqrt{11}}{15}
Signos de extremos en los puntos:
      ____                            ____ 
 -2*\/ 11            /    ____\   2*\/ 11  
(---------, - 15*atan\2*\/ 11 / + --------)
     15                              3     

     ____                          ____ 
 2*\/ 11          /    ____\   2*\/ 11  
(--------, 15*atan\2*\/ 11 / - --------)
    15                            3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−21115x_{1} = - \frac{2 \sqrt{11}}{15}
Puntos máximos de la función:
x1=21115x_{1} = \frac{2 \sqrt{11}}{15}
Decrece en los intervalos
[−21115,21115]\left[- \frac{2 \sqrt{11}}{15}, \frac{2 \sqrt{11}}{15}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−21115]∪[21115,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{11}}{15}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{11}}{15}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−101250x(225x2+1)2=0- \frac{101250 x}{\left(225 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−5x+15atan⁡(15x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−5x+15atan⁡(15x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -5*x + 15*atan(15*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−5x+15atan⁡(15x)x)=−5\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)}}{x}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−5xy = - 5 x
lim⁡x→∞(−5x+15atan⁡(15x)x)=−5\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)}}{x}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−5xy = - 5 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−5x+15atan⁡(15x)=5x−15atan⁡(15x)- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)} = 5 x - 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)}
- No
−5x+15atan⁡(15x)=−5x+15atan⁡(15x)- 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)} = - 5 x + 15 \operatorname{atan}{\left(15 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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