Gráfico de la función y = y=(x⁴-13x+36)/((x-3)(x+2))

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         4            
        x  - 13*x + 36
f(x) = ---------------
       (x - 3)*(x + 2)

$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}$$

f = (x^4 - 13*x + 36)/(((x - 3)*(x + 2)))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^4 - 13*x + 36)/(((x - 3)*(x + 2))).
$$\frac{\left(0^{4} - 0\right) + 36}{\left(-1\right) 2 \cdot 3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -6$$
Punto:

(0, -6)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(\left(x^{4} - 13 x\right) + 36\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \left(4 x^{3} - 13\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.55289154196316$$
$$x_{2} = 1.22466975693705$$
$$x_{3} = 4.25476688352691$$
Signos de extremos en los puntos:

(-3.55289154196316, 23.7352939469282)

(1.22466975693705, -3.90031645090586)

(4.25476688352691, 39.2962986083772)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3.55289154196316$$
$$x_{2} = 4.25476688352691$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1.22466975693705$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3.55289154196316, 1.22466975693705\right] \cup \left[4.25476688352691, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.55289154196316\right] \cup \left[1.22466975693705, 4.25476688352691\right]$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 x^{2} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(4 x^{3} - 13\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} + \frac{\left(x^{4} - 13 x + 36\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^4 - 13*x + 36)/(((x - 3)*(x + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \left(\left(x^{4} - 13 x\right) + 36\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \left(\left(x^{4} - 13 x\right) + 36\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = \frac{x^{4} + 13 x + 36}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{x^{4} + 13 x + 36}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = y=(x⁴-13x+36)/((x-3)(x+2))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución