Sr Examen

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y=(x⁴-13x+36)/((x-3)(x+2))
Trazado el gráfico de la función/ y=(x⁴-13x+36)/((x-3)(x+2))

Gráfico de la función y = y=(x⁴-13x+36)/((x-3)(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         4            
        x  - 13*x + 36
f(x) = ---------------
       (x - 3)*(x + 2)
f(x)=(x4−13x)+36(x−3)(x+2)f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} 
f = (x^4 - 13*x + 36)/(((x - 3)*(x + 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−13x)+36(x−3)(x+2)=0\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^4 - 13*x + 36)/(((x - 3)*(x + 2))).
(04−0)+36(−1)2⋅3\frac{\left(0^{4} - 0\right) + 36}{\left(-1\right) 2 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=−6f{\left(0 \right)} = -6
Punto:
(0, -6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−2x)((x4−13x)+36)(x−3)2(x+2)2+1(x−3)(x+2)(4x3−13)=0\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(\left(x^{4} - 13 x\right) + 36\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \left(4 x^{3} - 13\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3.55289154196316x_{1} = -3.55289154196316
x2=1.22466975693705x_{2} = 1.22466975693705
x3=4.25476688352691x_{3} = 4.25476688352691
Signos de extremos en los puntos:
(-3.55289154196316, 23.7352939469282)

(1.22466975693705, -3.90031645090586)

(4.25476688352691, 39.2962986083772)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3.55289154196316x_{1} = -3.55289154196316
x2=4.25476688352691x_{2} = 4.25476688352691
Puntos máximos de la función:
x2=1.22466975693705x_{2} = 1.22466975693705
Decrece en los intervalos
[−3.55289154196316,1.22466975693705]∪[4.25476688352691,∞)\left[-3.55289154196316, 1.22466975693705\right] \cup \left[4.25476688352691, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3.55289154196316]∪[1.22466975693705,4.25476688352691]\left(-\infty, -3.55289154196316\right] \cup \left[1.22466975693705, 4.25476688352691\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12x2−2(2x−1)(4x3−13)(x−3)(x+2)+(x4−13x+36)((2x−1)(1x+2+1x−3)−2+2x−1x+2+2x−1x−3)(x−3)(x+2)(x−3)(x+2)=0\frac{12 x^{2} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(4 x^{3} - 13\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} + \frac{\left(x^{4} - 13 x + 36\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−13x)+36(x−3)(x+2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−13x)+36(x−3)(x+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^4 - 13*x + 36)/(((x - 3)*(x + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−3)(x+2)((x4−13x)+36)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \left(\left(x^{4} - 13 x\right) + 36\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(1(x−3)(x+2)((x4−13x)+36)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \left(\left(x^{4} - 13 x\right) + 36\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−13x)+36(x−3)(x+2)=x4+13x+36(2−x)(−x−3)\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = \frac{x^{4} + 13 x + 36}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}
- No
(x4−13x)+36(x−3)(x+2)=−x4+13x+36(2−x)(−x−3)\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + 36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{x^{4} + 13 x + 36}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x⁴-13x+36)/((x-3)(x+2))
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