Gráfico de la función y = (x*x+1)/(x-1)

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       x*x + 1
f(x) = -------
        x - 1

f{\left(x \right)} = \frac{x x + 1}{x - 1}

f = (x*x + 1)/(x - 1)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 1

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{x x + 1}{x - 1} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*x + 1)/(x - 1).

\frac{0 \cdot 0 + 1}{-1}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = -1

Punto:

(0, -1)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

\frac{2 x}{x - 1} - \frac{x x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

Signos de extremos en los puntos:

                   /               2\  
               ___ |    /      ___\ |  
       ___  -\/ 2 *\1 + \1 - \/ 2 / /  
(1 - \/ 2, --------------------------)
                        2

                  /               2\ 
              ___ |    /      ___\ | 
       ___  \/ 2 *\1 + \1 + \/ 2 / / 
(1 + \/ 2, ------------------------)
                       2

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:

x_{1} = 1 + \sqrt{2}

Puntos máximos de la función:

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

Decrece en los intervalos

\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)

Crece en los intervalos

\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x - 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 1

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x x + 1}{x - 1}\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x x + 1}{x - 1}\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*x + 1)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x x + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x x + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{x x + 1}{x - 1} = \frac{x^{2} + 1}{- x - 1}

- No

\frac{x x + 1}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{- x - 1}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = (x*x+1)/(x-1)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución