Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^2+1)*(x-2)/(2-x)
-
-(x^2+16)/x
-
x-2-1/3x^3
-
x^2*(1-log(x))
-
Expresiones idénticas
- uno /(x- uno)^ dos - uno /x^ dos
- 1 dividir por (x menos 1) al cuadrado menos 1 dividir por x al cuadrado
- uno dividir por (x menos uno) en el grado dos menos uno dividir por x en el grado dos
- 1/(x-1)2-1/x2
- 1/x-12-1/x2
- 1/(x-1)²-1/x²
- 1/(x-1) en el grado 2-1/x en el grado 2
- 1/x-1^2-1/x^2
- 1 dividir por (x-1)^2-1 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- 1/(x-1)^2+1/x^2
- 1/(x+1)^2-1/x^2
Gráfico de la función y = 1/(x-1)^2-1/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
1 1
f(x) = -------- - --
2 2
(x - 1) x
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$$
f = 1/((x - 1)^2) - 1/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -25572.6458017251$$
$$x_{2} = 38843.1768913684$$
$$x_{3} = -15400.5591385715$$
$$x_{4} = -16248.2729881067$$
$$x_{5} = -31506.1138155257$$
$$x_{6} = -38287.1296606462$$
$$x_{7} = 25281.0620369858$$
$$x_{8} = 29519.267056849$$
$$x_{9} = -30658.4811759492$$
$$x_{10} = -19639.0337824818$$
$$x_{11} = -27267.9329609674$$
$$x_{12} = 21042.7829681361$$
$$x_{13} = -12857.3309000306$$
$$x_{14} = -39982.3739788884$$
$$x_{15} = 15108.9492368137$$
$$x_{16} = 37995.5540630927$$
$$x_{17} = -40829.9950218415$$
$$x_{18} = -42525.2350978747$$
$$x_{19} = 42233.6607417071$$
$$x_{20} = -17095.9759703912$$
$$x_{21} = -32353.7449669595$$
$$x_{22} = 28671.6304006697$$
$$x_{23} = 17652.0705586686$$
$$x_{24} = 20195.114166187$$
$$x_{25} = -34896.6305767085$$
$$x_{26} = -29810.8469213028$$
$$x_{27} = 41386.0408068321$$
$$x_{28} = 40538.4202154681$$
$$x_{29} = 32062.1667405552$$
$$x_{30} = 22738.1061314064$$
$$x_{31} = 14261.2176753595$$
$$x_{32} = -28963.2109098026$$
$$x_{33} = -20486.7062005088$$
$$x_{34} = -23877.3474705499$$
$$x_{35} = 11717.9124877118$$
$$x_{36} = -34049.0032499167$$
$$x_{37} = 26128.7078118701$$
$$x_{38} = 27823.9917692635$$
$$x_{39} = 23585.7615306215$$
$$x_{40} = -13705.0907745857$$
$$x_{41} = -36591.8820212458$$
$$x_{42} = -21334.3732015004$$
$$x_{43} = -33201.3747442168$$
$$x_{44} = -37439.5062842851$$
$$x_{45} = 34605.0536421087$$
$$x_{46} = 13413.4700240386$$
$$x_{47} = -41677.6153812125$$
$$x_{48} = -23029.6933446035$$
$$x_{49} = 18499.7588136554$$
$$x_{50} = 36300.3058017777$$
$$x_{51} = 19347.4397072052$$
$$x_{52} = -26420.2906434443$$
$$x_{53} = 21890.4467701647$$
$$x_{54} = 24433.4133801375$$
$$x_{55} = -24724.9981762361$$
$$x_{56} = 37147.9303863735$$
$$x_{57} = 30366.9019031993$$
$$x_{58} = -17943.6696251912$$
$$x_{59} = 26976.350976445$$
$$x_{60} = -35744.2568084542$$
$$x_{61} = 15956.6672722804$$
$$x_{62} = 16804.3738283826$$
$$x_{63} = 12565.7030272836$$
$$x_{64} = 32909.7969816635$$
$$x_{65} = -39134.752207939$$
$$x_{66} = 39690.7989255568$$
$$x_{67} = -18791.3552145021$$
$$x_{68} = -12009.5490630757$$
$$x_{69} = -14552.832523375$$
$$x_{70} = 31214.5350871538$$
$$x_{71} = 35452.6802441883$$
$$x_{72} = 33757.4259168614$$
$$x_{73} = -22182.035406363$$
$$x_{74} = -28115.5729825686$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -25572.6458017251$$
$$x_{2} = 38843.1768913684$$
$$x_{3} = -15400.5591385715$$
$$x_{4} = -16248.2729881067$$
$$x_{5} = -31506.1138155257$$
$$x_{6} = -38287.1296606462$$
$$x_{7} = 25281.0620369858$$
$$x_{8} = 29519.267056849$$
$$x_{9} = -30658.4811759492$$
$$x_{10} = -19639.0337824818$$
$$x_{11} = -27267.9329609674$$
$$x_{12} = 21042.7829681361$$
$$x_{13} = -12857.3309000306$$
$$x_{14} = -39982.3739788884$$
$$x_{15} = 15108.9492368137$$
$$x_{16} = 37995.5540630927$$
$$x_{17} = -40829.9950218415$$
$$x_{18} = -42525.2350978747$$
$$x_{19} = 42233.6607417071$$
$$x_{20} = -17095.9759703912$$
$$x_{21} = -32353.7449669595$$
$$x_{22} = 28671.6304006697$$
$$x_{23} = 17652.0705586686$$
$$x_{24} = 20195.114166187$$
$$x_{25} = -34896.6305767085$$
$$x_{26} = -29810.8469213028$$
$$x_{27} = 41386.0408068321$$
$$x_{28} = 40538.4202154681$$
$$x_{29} = 32062.1667405552$$
$$x_{30} = 22738.1061314064$$
$$x_{31} = 14261.2176753595$$
$$x_{32} = -28963.2109098026$$
$$x_{33} = -20486.7062005088$$
$$x_{34} = -23877.3474705499$$
$$x_{35} = 11717.9124877118$$
$$x_{36} = -34049.0032499167$$
$$x_{37} = 26128.7078118701$$
$$x_{38} = 27823.9917692635$$
$$x_{39} = 23585.7615306215$$
$$x_{40} = -13705.0907745857$$
$$x_{41} = -36591.8820212458$$
$$x_{42} = -21334.3732015004$$
$$x_{43} = -33201.3747442168$$
$$x_{44} = -37439.5062842851$$
$$x_{45} = 34605.0536421087$$
$$x_{46} = 13413.4700240386$$
$$x_{47} = -41677.6153812125$$
$$x_{48} = -23029.6933446035$$
$$x_{49} = 18499.7588136554$$
$$x_{50} = 36300.3058017777$$
$$x_{51} = 19347.4397072052$$
$$x_{52} = -26420.2906434443$$
$$x_{53} = 21890.4467701647$$
$$x_{54} = 24433.4133801375$$
$$x_{55} = -24724.9981762361$$
$$x_{56} = 37147.9303863735$$
$$x_{57} = 30366.9019031993$$
$$x_{58} = -17943.6696251912$$
$$x_{59} = 26976.350976445$$
$$x_{60} = -35744.2568084542$$
$$x_{61} = 15956.6672722804$$
$$x_{62} = 16804.3738283826$$
$$x_{63} = 12565.7030272836$$
$$x_{64} = 32909.7969816635$$
$$x_{65} = -39134.752207939$$
$$x_{66} = 39690.7989255568$$
$$x_{67} = -18791.3552145021$$
$$x_{68} = -12009.5490630757$$
$$x_{69} = -14552.832523375$$
$$x_{70} = 31214.5350871538$$
$$x_{71} = 35452.6802441883$$
$$x_{72} = 33757.4259168614$$
$$x_{73} = -22182.035406363$$
$$x_{74} = -28115.5729825686$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 - 2 x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 - 2 x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(6 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/((x - 1)^2) - 1/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{\left(- x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$$
- No
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{1}{\left(- x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{\left(- x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$$
- No
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{1}{\left(- x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico