Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = ln(1+2*x)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       log(1 + 2*x)
f(x) = ------------
             2     
            x      
f(x)=log(2x+1)x2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}
f = log(2*x + 1)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log(2x+1)x2=0\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 + 2*x)/x^2.
log(02+1)02\frac{\log{\left(0 \cdot 2 + 1 \right)}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x2(2x+1)2log(2x+1)x3=0\frac{2}{x^{2} \left(2 x + 1\right)} - \frac{2 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=54374.5677022528x_{1} = 54374.5677022528
x2=53327.8140919145x_{2} = 53327.8140919145
x3=36494.848919516x_{3} = 36494.848919516
x4=25863.5071922299x_{4} = 25863.5071922299
x5=30129.4581890693x_{5} = 30129.4581890693
x6=40720.1335971217x_{6} = 40720.1335971217
x7=47035.4564633073x_{7} = 47035.4564633073
x8=32255.3250256571x_{8} = 32255.3250256571
x9=51232.6761333957x_{9} = 51232.6761333957
x10=26931.9232213607x_{10} = 26931.9232213607
x11=43880.9289673771x_{11} = 43880.9289673771
x12=41774.4661689676x_{12} = 41774.4661689676
x13=38609.1389108058x_{13} = 38609.1389108058
x14=34377.0086394587x_{14} = 34377.0086394587
x15=49135.2661611453x_{15} = 49135.2661611453
x16=31192.9378770478x_{16} = 31192.9378770478
x17=48085.6697688406x_{17} = 48085.6697688406
x18=42828.0566493432x_{18} = 42828.0566493432
x19=50184.2628343864x_{19} = 50184.2628343864
x20=39665.0335216268x_{20} = 39665.0335216268
x21=44933.1056909567x_{21} = 44933.1056909567
x22=29064.834251896x_{22} = 29064.834251896
x23=27999.0097642297x_{23} = 27999.0097642297
x24=52280.5216129771x_{24} = 52280.5216129771
x25=37552.4209601595x_{25} = 37552.4209601595
x26=35436.3898974899x_{26} = 35436.3898974899
x27=45984.6081357868x_{27} = 45984.6081357868
x28=33316.6672744871x_{28} = 33316.6672744871
Signos de extremos en los puntos:
(54374.56770225285, 3.92235447706304e-9)

(53327.81409191447, 4.07101163524272e-9)

(36494.84891951599, 8.40776778046343e-9)

(25863.507192229885, 1.62257646397059e-8)

(30129.458189069283, 1.21244914920048e-8)

(40720.13359712169, 6.81951493575469e-9)

(47035.45646330725, 5.17634947855704e-9)

(32255.325025657057, 1.06444995387796e-8)

(51232.67613339568, 4.39551449199202e-9)

(26931.923221360732, 1.50197235028731e-8)

(43880.928967377105, 5.91128604765229e-9)

(41774.46616896764, 6.4942757461468e-9)

(38609.138910805756, 7.54991888283308e-9)

(34377.0086394587, 9.42503429340619e-9)

(49135.26616114527, 4.76146777515684e-9)

(31192.937877047767, 1.13474998130633e-8)

(48085.669768840584, 4.96226108160031e-9)

(42828.05664934319, 6.19226080802075e-9)

(50184.26283438638, 4.5728789937959e-9)

(39665.03352162676, 7.17045596509277e-9)

(44933.105690956654, 5.64941995773705e-9)

(29064.83425189603, 1.29863973815584e-8)

(27999.00976422973, 1.39462535866091e-8)

(52280.52161297714, 4.22849115777788e-9)

(37552.42096015946, 7.96112498508444e-9)

(35436.38989748986, 8.89409911556418e-9)

(45984.60813578675, 5.40494918402442e-9)

(33316.667274487096, 1.00062811465469e-8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2(2x+1)24x(2x+1)+3log(2x+1)x2)x2=0\frac{2 \left(- \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(2 x + 1\right)} + \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11153.8639271689x_{1} = 11153.8639271689
x2=4817.52593977753x_{2} = 4817.52593977753
x3=10650.5568272783x_{3} = 10650.5568272783
x4=7365.9961731595x_{4} = 7365.9961731595
x5=10146.7796232732x_{5} = 10146.7796232732
x6=9894.70521330343x_{6} = 9894.70521330343
x7=2493.49743548307x_{7} = 2493.49743548307
x8=11656.7285610974x_{8} = 11656.7285610974
x9=2754.02600899271x_{9} = 2754.02600899271
x10=9642.5013954148x_{10} = 9642.5013954148
x11=8379.37392197206x_{11} = 8379.37392197206
x12=12410.2495499377x_{12} = 12410.2495499377
x13=6603.97810896213x_{13} = 6603.97810896213
x14=7112.19387298432x_{14} = 7112.19387298432
x15=3531.55119467904x_{15} = 3531.55119467904
x16=7619.6072210125x_{16} = 7619.6072210125
x17=3272.97456779338x_{17} = 3272.97456779338
x18=12661.2273673197x_{18} = 12661.2273673197
x19=7873.03543915272x_{19} = 7873.03543915272
x20=11908.0028129254x_{20} = 11908.0028129254
x21=12159.1755655123x_{21} = 12159.1755655123
x22=5073.58851340411x_{22} = 5073.58851340411
x23=5584.78753952256x_{23} = 5584.78753952256
x24=8126.28860548387x_{24} = 8126.28860548387
x25=6349.54378738881x_{25} = 6349.54378738881
x26=3789.61014921856x_{26} = 3789.61014921856
x27=9390.16369469131x_{27} = 9390.16369469131
x28=3013.82281605174x_{28} = 3013.82281605174
x29=4561.12494624489x_{29} = 4561.12494624489
x30=12912.1114975538x_{30} = 12912.1114975538
x31=4304.35941289056x_{31} = 4304.35941289056
x32=10398.728837537x_{32} = 10398.728837537
x33=5839.96236205456x_{33} = 5839.96236205456
x34=9137.68734922491x_{34} = 9137.68734922491
x35=10902.2673420473x_{35} = 10902.2673420473
x36=4047.19937428554x_{36} = 4047.19937428554
x37=8632.29807414405x_{37} = 8632.29807414405
x38=8885.06728280972x_{38} = 8885.06728280972
x39=11405.3499394072x_{39} = 11405.3499394072
x40=6858.19117328563x_{40} = 6858.19117328563
x41=5329.33561350727x_{41} = 5329.33561350727
x42=6094.87625880948x_{42} = 6094.87625880948
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

limx0(2(2(2x+1)24x(2x+1)+3log(2x+1)x2)x2)=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(2 x + 1\right)} + \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
limx0+(2(2(2x+1)24x(2x+1)+3log(2x+1)x2)x2)=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(2 x + 1\right)} + \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(log(2x+1)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(log(2x+1)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 + 2*x)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(log(2x+1)xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(log(2x+1)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log(2x+1)x2=log(12x)x2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{x^{2}}
- No
log(2x+1)x2=log(12x)x2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar