Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
- Límite de la función:
-
(-1+cos(2*x))/x^2
-
Expresiones idénticas
- (- uno +cos(dos *x))/x^ dos
- ( menos 1 más coseno de (2 multiplicar por x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno más coseno de (dos multiplicar por x)) dividir por x en el grado dos
- (-1+cos(2*x))/x2
- -1+cos2*x/x2
- (-1+cos(2*x))/x²
- (-1+cos(2*x))/x en el grado 2
- (-1+cos(2x))/x^2
- (-1+cos(2x))/x2
- -1+cos2x/x2
- -1+cos2x/x^2
- (-1+cos(2*x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-1-cos(2*x))/x^2
- (1+cos(2*x))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
Gráfico de la función y = (-1+cos(2*x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + cos(2*x)
f(x) = -------------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}$$
f = (cos(2*x) - 1)/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 81.6814091740375$$
$$x_{2} = 91.1061867208972$$
$$x_{3} = -40.8407042430283$$
$$x_{4} = 9.42477816834986$$
$$x_{5} = 50.2654824463366$$
$$x_{6} = 47.1238899954189$$
$$x_{7} = -56.5486675120423$$
$$x_{8} = 31.4159268994904$$
$$x_{9} = 69.1150381457816$$
$$x_{10} = -6.28318511325755$$
$$x_{11} = 40.8407042462337$$
$$x_{12} = 62.8318524971054$$
$$x_{13} = 84.8230011943097$$
$$x_{14} = 53.4070753544334$$
$$x_{15} = -182.212330270911$$
$$x_{16} = -62.831852823464$$
$$x_{17} = -69.1150386188422$$
$$x_{18} = 97.3893726288047$$
$$x_{19} = -21.991148586426$$
$$x_{20} = -84.8230013997108$$
$$x_{21} = 72.2566310277176$$
$$x_{22} = -75.3982253232481$$
$$x_{23} = 3.14159230647624$$
$$x_{24} = -100.530964668746$$
$$x_{25} = -9.42477811279807$$
$$x_{26} = 3.14159202258703$$
$$x_{27} = 87.9645943356948$$
$$x_{28} = -87.9645943586046$$
$$x_{29} = -25.1327414564238$$
$$x_{30} = -18.8495560547772$$
$$x_{31} = -3.1415918086506$$
$$x_{32} = 25.1327409761656$$
$$x_{33} = 333.008669396267$$
$$x_{34} = -18.8495563021403$$
$$x_{35} = -28.274336411954$$
$$x_{36} = 69.1150385723079$$
$$x_{37} = -72.2566308724232$$
$$x_{38} = -91.1061871962484$$
$$x_{39} = -75.398223859952$$
$$x_{40} = -47.1238900096216$$
$$x_{41} = -12.5663703305055$$
$$x_{42} = 25.1327414061616$$
$$x_{43} = -25.1327413659795$$
$$x_{44} = 40.8407039198138$$
$$x_{45} = 43.98229716939$$
$$x_{46} = -50.2654822927432$$
$$x_{47} = 59.690260594979$$
$$x_{48} = -91.1061871357964$$
$$x_{49} = 18.8495556571753$$
$$x_{50} = -18.8495556424861$$
$$x_{51} = -40.8407046587706$$
$$x_{52} = 47.1238895673742$$
$$x_{53} = -43.98229717452$$
$$x_{54} = -1709.02630102645$$
$$x_{55} = 78.5398161863985$$
$$x_{56} = 18.849559744074$$
$$x_{57} = 31.4159267729052$$
$$x_{58} = 21.9911485851759$$
$$x_{59} = 15.7079634314657$$
$$x_{60} = 56.5486676070174$$
$$x_{61} = 53.4070755245567$$
$$x_{62} = -62.8318532373291$$
$$x_{63} = 12.5663704410235$$
$$x_{64} = 65.9734457528465$$
$$x_{65} = -81.6814090378975$$
$$x_{66} = -37.6991118770152$$
$$x_{67} = -25.1327415660596$$
$$x_{68} = -3.14159278291973$$
$$x_{69} = -69.1150385823665$$
$$x_{70} = -34.5575189305341$$
$$x_{71} = 91.1061871454997$$
$$x_{72} = -59.6902604575246$$
$$x_{73} = 94.2477796093523$$
$$x_{74} = -65.9734457649134$$
$$x_{75} = 56.5486679526703$$
$$x_{76} = -15.7079632962971$$
$$x_{77} = 6.28318528388037$$
$$x_{78} = 75.3982240865665$$
$$x_{79} = -87.964591359568$$
$$x_{80} = -28.2743337117191$$
$$x_{81} = -84.82300181$$
$$x_{82} = -97.3893724386893$$
$$x_{83} = -78.5398160908277$$
$$x_{84} = 37.6991120151215$$
$$x_{85} = -81.6814095337443$$
$$x_{86} = -37.6991119106453$$
$$x_{87} = -53.4070752808355$$
$$x_{88} = 9.42477789820696$$
$$x_{89} = 84.823001404869$$
$$x_{90} = 28.2743338651556$$
$$x_{91} = 97.3893725100508$$
$$x_{92} = 15.7079650823801$$
$$x_{93} = -31.4159267006674$$
$$x_{94} = 75.3982239327941$$
$$x_{95} = -72.2566351619525$$
$$x_{96} = -47.1238900400185$$
$$x_{97} = 34.5575190268142$$
$$x_{98} = -94.2477794517506$$
$$x_{99} = 62.8318528264673$$
$$x_{100} = 100.530964765533$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 81.6814091740375$$
$$x_{2} = 91.1061867208972$$
$$x_{3} = -40.8407042430283$$
$$x_{4} = 9.42477816834986$$
$$x_{5} = 50.2654824463366$$
$$x_{6} = 47.1238899954189$$
$$x_{7} = -56.5486675120423$$
$$x_{8} = 31.4159268994904$$
$$x_{9} = 69.1150381457816$$
$$x_{10} = -6.28318511325755$$
$$x_{11} = 40.8407042462337$$
$$x_{12} = 62.8318524971054$$
$$x_{13} = 84.8230011943097$$
$$x_{14} = 53.4070753544334$$
$$x_{15} = -182.212330270911$$
$$x_{16} = -62.831852823464$$
$$x_{17} = -69.1150386188422$$
$$x_{18} = 97.3893726288047$$
$$x_{19} = -21.991148586426$$
$$x_{20} = -84.8230013997108$$
$$x_{21} = 72.2566310277176$$
$$x_{22} = -75.3982253232481$$
$$x_{23} = 3.14159230647624$$
$$x_{24} = -100.530964668746$$
$$x_{25} = -9.42477811279807$$
$$x_{26} = 3.14159202258703$$
$$x_{27} = 87.9645943356948$$
$$x_{28} = -87.9645943586046$$
$$x_{29} = -25.1327414564238$$
$$x_{30} = -18.8495560547772$$
$$x_{31} = -3.1415918086506$$
$$x_{32} = 25.1327409761656$$
$$x_{33} = 333.008669396267$$
$$x_{34} = -18.8495563021403$$
$$x_{35} = -28.274336411954$$
$$x_{36} = 69.1150385723079$$
$$x_{37} = -72.2566308724232$$
$$x_{38} = -91.1061871962484$$
$$x_{39} = -75.398223859952$$
$$x_{40} = -47.1238900096216$$
$$x_{41} = -12.5663703305055$$
$$x_{42} = 25.1327414061616$$
$$x_{43} = -25.1327413659795$$
$$x_{44} = 40.8407039198138$$
$$x_{45} = 43.98229716939$$
$$x_{46} = -50.2654822927432$$
$$x_{47} = 59.690260594979$$
$$x_{48} = -91.1061871357964$$
$$x_{49} = 18.8495556571753$$
$$x_{50} = -18.8495556424861$$
$$x_{51} = -40.8407046587706$$
$$x_{52} = 47.1238895673742$$
$$x_{53} = -43.98229717452$$
$$x_{54} = -1709.02630102645$$
$$x_{55} = 78.5398161863985$$
$$x_{56} = 18.849559744074$$
$$x_{57} = 31.4159267729052$$
$$x_{58} = 21.9911485851759$$
$$x_{59} = 15.7079634314657$$
$$x_{60} = 56.5486676070174$$
$$x_{61} = 53.4070755245567$$
$$x_{62} = -62.8318532373291$$
$$x_{63} = 12.5663704410235$$
$$x_{64} = 65.9734457528465$$
$$x_{65} = -81.6814090378975$$
$$x_{66} = -37.6991118770152$$
$$x_{67} = -25.1327415660596$$
$$x_{68} = -3.14159278291973$$
$$x_{69} = -69.1150385823665$$
$$x_{70} = -34.5575189305341$$
$$x_{71} = 91.1061871454997$$
$$x_{72} = -59.6902604575246$$
$$x_{73} = 94.2477796093523$$
$$x_{74} = -65.9734457649134$$
$$x_{75} = 56.5486679526703$$
$$x_{76} = -15.7079632962971$$
$$x_{77} = 6.28318528388037$$
$$x_{78} = 75.3982240865665$$
$$x_{79} = -87.964591359568$$
$$x_{80} = -28.2743337117191$$
$$x_{81} = -84.82300181$$
$$x_{82} = -97.3893724386893$$
$$x_{83} = -78.5398160908277$$
$$x_{84} = 37.6991120151215$$
$$x_{85} = -81.6814095337443$$
$$x_{86} = -37.6991119106453$$
$$x_{87} = -53.4070752808355$$
$$x_{88} = 9.42477789820696$$
$$x_{89} = 84.823001404869$$
$$x_{90} = 28.2743338651556$$
$$x_{91} = 97.3893725100508$$
$$x_{92} = 15.7079650823801$$
$$x_{93} = -31.4159267006674$$
$$x_{94} = 75.3982239327941$$
$$x_{95} = -72.2566351619525$$
$$x_{96} = -47.1238900400185$$
$$x_{97} = 34.5575190268142$$
$$x_{98} = -94.2477794517506$$
$$x_{99} = 62.8318528264673$$
$$x_{100} = 100.530964765533$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 48.6741442319544$$
$$x_{2} = 34.5575191894877$$
$$x_{3} = -939.336203423348$$
$$x_{4} = -20.3713029592876$$
$$x_{5} = -86.3822220347287$$
$$x_{6} = 67.5294347771441$$
$$x_{7} = -43.9822971502571$$
$$x_{8} = 28.2743338823081$$
$$x_{9} = -39.2444323611642$$
$$x_{10} = 4.49340945790906$$
$$x_{11} = 86.3822220347287$$
$$x_{12} = 58.1022547544956$$
$$x_{13} = -80.0981286289451$$
$$x_{14} = 73.8138806006806$$
$$x_{15} = -12.5663706143592$$
$$x_{16} = 59.6902604182061$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = 100.530964914873$$
$$x_{19} = -54.9596782878889$$
$$x_{20} = 15.707963267949$$
$$x_{21} = -58.1022547544956$$
$$x_{22} = -15.707963267949$$
$$x_{23} = -37.6991118430775$$
$$x_{24} = -29.811598790893$$
$$x_{25} = -51.8169824872797$$
$$x_{26} = 14.0661939128315$$
$$x_{27} = -72.2566310325652$$
$$x_{28} = -36.1006222443756$$
$$x_{29} = -11909.7777497589$$
$$x_{30} = 47.1238898038469$$
$$x_{31} = -89.5242209304172$$
$$x_{32} = 65.9734457253857$$
$$x_{33} = 12.5663706143592$$
$$x_{34} = 21.9911485751286$$
$$x_{35} = -3.14159265358979$$
$$x_{36} = -6.28318530717959$$
$$x_{37} = -65.9734457253857$$
$$x_{38} = 36.1006222443756$$
$$x_{39} = 7.72525183693771$$
$$x_{40} = 81.6814089933346$$
$$x_{41} = 78.5398163397448$$
$$x_{42} = -73.8138806006806$$
$$x_{43} = 23.519452498689$$
$$x_{44} = -67.5294347771441$$
$$x_{45} = -83.2401924707234$$
$$x_{46} = 42.3879135681319$$
$$x_{47} = 51.8169824872797$$
$$x_{48} = -56.5486677646163$$
$$x_{49} = -97.3893722612836$$
$$x_{50} = 37.6991118430775$$
$$x_{51} = -21.9911485751286$$
$$x_{52} = 3.14159265358979$$
$$x_{53} = 69.1150383789755$$
$$x_{54} = 29.811598790893$$
$$x_{55} = -50.2654824574367$$
$$x_{56} = -94.2477796076938$$
$$x_{57} = 80.0981286289451$$
$$x_{58} = -7.72525183693771$$
$$x_{59} = -53.4070751110265$$
$$x_{60} = -61.2447302603744$$
$$x_{61} = 92.6661922776228$$
$$x_{62} = 89.5242209304172$$
$$x_{63} = -42.3879135681319$$
$$x_{64} = -59.6902604182061$$
$$x_{65} = -23.519452498689$$
$$x_{66} = -207.345115136926$$
$$x_{67} = 26.6660542588127$$
$$x_{68} = 20.3713029592876$$
$$x_{69} = -87.9645943005142$$
$$x_{70} = -28.2743338823081$$
$$x_{71} = -95.8081387868617$$
$$x_{72} = 64.3871195905574$$
$$x_{73} = 6.28318530717959$$
$$x_{74} = 70.6716857116195$$
$$x_{75} = 45.5311340139913$$
$$x_{76} = 87.9645943005142$$
$$x_{77} = 43.9822971502571$$
$$x_{78} = 185.353966561798$$
$$x_{79} = -4.49340945790906$$
$$x_{80} = -64.3871195905574$$
$$x_{81} = -75.398223686155$$
$$x_{82} = -9.42477796076938$$
$$x_{83} = -14.0661939128315$$
$$x_{84} = -31.4159265358979$$
$$x_{85} = -45.5311340139913$$
$$x_{86} = 72.2566310325652$$
$$x_{87} = 94.2477796076938$$
$$x_{88} = -100.530964914873$$
$$x_{89} = 95.8081387868617$$
$$x_{90} = -81.6814089933346$$
$$x_{91} = 50.2654824574367$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 48.6741442319544$$
$$x_{2} = -20.3713029592876$$
$$x_{3} = -86.3822220347287$$
$$x_{4} = 67.5294347771441$$
$$x_{5} = -39.2444323611642$$
$$x_{6} = 4.49340945790906$$
$$x_{7} = 86.3822220347287$$
$$x_{8} = 58.1022547544956$$
$$x_{9} = -80.0981286289451$$
$$x_{10} = 73.8138806006806$$
$$x_{11} = -54.9596782878889$$
$$x_{12} = -58.1022547544956$$
$$x_{13} = -29.811598790893$$
$$x_{14} = -51.8169824872797$$
$$x_{15} = 14.0661939128315$$
$$x_{16} = -36.1006222443756$$
$$x_{17} = -89.5242209304172$$
$$x_{18} = 36.1006222443756$$
$$x_{19} = 7.72525183693771$$
$$x_{20} = -73.8138806006806$$
$$x_{21} = 23.519452498689$$
$$x_{22} = -67.5294347771441$$
$$x_{23} = -83.2401924707234$$
$$x_{24} = 42.3879135681319$$
$$x_{25} = 51.8169824872797$$
$$x_{26} = 29.811598790893$$
$$x_{27} = 80.0981286289451$$
$$x_{28} = -7.72525183693771$$
$$x_{29} = -61.2447302603744$$
$$x_{30} = 92.6661922776228$$
$$x_{31} = 89.5242209304172$$
$$x_{32} = -42.3879135681319$$
$$x_{33} = -23.519452498689$$
$$x_{34} = 26.6660542588127$$
$$x_{35} = 20.3713029592876$$
$$x_{36} = -95.8081387868617$$
$$x_{37} = 64.3871195905574$$
$$x_{38} = 70.6716857116195$$
$$x_{39} = 45.5311340139913$$
$$x_{40} = -4.49340945790906$$
$$x_{41} = -64.3871195905574$$
$$x_{42} = -14.0661939128315$$
$$x_{43} = -45.5311340139913$$
$$x_{44} = 95.8081387868617$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{44} = 34.5575191894877$$
$$x_{44} = -939.336203423348$$
$$x_{44} = -43.9822971502571$$
$$x_{44} = 28.2743338823081$$
$$x_{44} = -12.5663706143592$$
$$x_{44} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = 56.5486677646163$$
$$x_{44} = 100.530964914873$$
$$x_{44} = 15.707963267949$$
$$x_{44} = -15.707963267949$$
$$x_{44} = -37.6991118430775$$
$$x_{44} = -72.2566310325652$$
$$x_{44} = -11909.7777497589$$
$$x_{44} = 47.1238898038469$$
$$x_{44} = 65.9734457253857$$
$$x_{44} = 12.5663706143592$$
$$x_{44} = 21.9911485751286$$
$$x_{44} = -3.14159265358979$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{44} = -65.9734457253857$$
$$x_{44} = 81.6814089933346$$
$$x_{44} = 78.5398163397448$$
$$x_{44} = -56.5486677646163$$
$$x_{44} = -97.3893722612836$$
$$x_{44} = 37.6991118430775$$
$$x_{44} = -21.9911485751286$$
$$x_{44} = 3.14159265358979$$
$$x_{44} = 69.1150383789755$$
$$x_{44} = -50.2654824574367$$
$$x_{44} = -94.2477796076938$$
$$x_{44} = -53.4070751110265$$
$$x_{44} = -59.6902604182061$$
$$x_{44} = -207.345115136926$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{44} = -28.2743338823081$$
$$x_{44} = 6.28318530717959$$
$$x_{44} = 87.9645943005142$$
$$x_{44} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = 185.353966561798$$
$$x_{44} = -75.398223686155$$
$$x_{44} = -9.42477796076938$$
$$x_{44} = -31.4159265358979$$
$$x_{44} = 72.2566310325652$$
$$x_{44} = 94.2477796076938$$
$$x_{44} = -100.530964914873$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{44} = 50.2654824574367$$
Decrece en los intervalos
$$\left[95.8081387868617, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.8081387868617\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 48.6741442319544$$
$$x_{2} = 34.5575191894877$$
$$x_{3} = -939.336203423348$$
$$x_{4} = -20.3713029592876$$
$$x_{5} = -86.3822220347287$$
$$x_{6} = 67.5294347771441$$
$$x_{7} = -43.9822971502571$$
$$x_{8} = 28.2743338823081$$
$$x_{9} = -39.2444323611642$$
$$x_{10} = 4.49340945790906$$
$$x_{11} = 86.3822220347287$$
$$x_{12} = 58.1022547544956$$
$$x_{13} = -80.0981286289451$$
$$x_{14} = 73.8138806006806$$
$$x_{15} = -12.5663706143592$$
$$x_{16} = 59.6902604182061$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = 100.530964914873$$
$$x_{19} = -54.9596782878889$$
$$x_{20} = 15.707963267949$$
$$x_{21} = -58.1022547544956$$
$$x_{22} = -15.707963267949$$
$$x_{23} = -37.6991118430775$$
$$x_{24} = -29.811598790893$$
$$x_{25} = -51.8169824872797$$
$$x_{26} = 14.0661939128315$$
$$x_{27} = -72.2566310325652$$
$$x_{28} = -36.1006222443756$$
$$x_{29} = -11909.7777497589$$
$$x_{30} = 47.1238898038469$$
$$x_{31} = -89.5242209304172$$
$$x_{32} = 65.9734457253857$$
$$x_{33} = 12.5663706143592$$
$$x_{34} = 21.9911485751286$$
$$x_{35} = -3.14159265358979$$
$$x_{36} = -6.28318530717959$$
$$x_{37} = -65.9734457253857$$
$$x_{38} = 36.1006222443756$$
$$x_{39} = 7.72525183693771$$
$$x_{40} = 81.6814089933346$$
$$x_{41} = 78.5398163397448$$
$$x_{42} = -73.8138806006806$$
$$x_{43} = 23.519452498689$$
$$x_{44} = -67.5294347771441$$
$$x_{45} = -83.2401924707234$$
$$x_{46} = 42.3879135681319$$
$$x_{47} = 51.8169824872797$$
$$x_{48} = -56.5486677646163$$
$$x_{49} = -97.3893722612836$$
$$x_{50} = 37.6991118430775$$
$$x_{51} = -21.9911485751286$$
$$x_{52} = 3.14159265358979$$
$$x_{53} = 69.1150383789755$$
$$x_{54} = 29.811598790893$$
$$x_{55} = -50.2654824574367$$
$$x_{56} = -94.2477796076938$$
$$x_{57} = 80.0981286289451$$
$$x_{58} = -7.72525183693771$$
$$x_{59} = -53.4070751110265$$
$$x_{60} = -61.2447302603744$$
$$x_{61} = 92.6661922776228$$
$$x_{62} = 89.5242209304172$$
$$x_{63} = -42.3879135681319$$
$$x_{64} = -59.6902604182061$$
$$x_{65} = -23.519452498689$$
$$x_{66} = -207.345115136926$$
$$x_{67} = 26.6660542588127$$
$$x_{68} = 20.3713029592876$$
$$x_{69} = -87.9645943005142$$
$$x_{70} = -28.2743338823081$$
$$x_{71} = -95.8081387868617$$
$$x_{72} = 64.3871195905574$$
$$x_{73} = 6.28318530717959$$
$$x_{74} = 70.6716857116195$$
$$x_{75} = 45.5311340139913$$
$$x_{76} = 87.9645943005142$$
$$x_{77} = 43.9822971502571$$
$$x_{78} = 185.353966561798$$
$$x_{79} = -4.49340945790906$$
$$x_{80} = -64.3871195905574$$
$$x_{81} = -75.398223686155$$
$$x_{82} = -9.42477796076938$$
$$x_{83} = -14.0661939128315$$
$$x_{84} = -31.4159265358979$$
$$x_{85} = -45.5311340139913$$
$$x_{86} = 72.2566310325652$$
$$x_{87} = 94.2477796076938$$
$$x_{88} = -100.530964914873$$
$$x_{89} = 95.8081387868617$$
$$x_{90} = -81.6814089933346$$
$$x_{91} = 50.2654824574367$$
Signos de extremos en los puntos:
(48.674144231954386, -0.000843820504482794)
(34.55751918948773, 0)
(-939.3362034233481, 0)
(-20.37130295928756, -0.00480780806192296)
(-86.38222203472871, -0.000267992756153105)
(67.52943477714412, -0.000438478740327786)
(-43.982297150257104, 0)
(28.274333882308138, 0)
(-39.24443236116419, -0.00129775286774544)
(4.493409457909064, -0.0943808984516225)
(86.38222203472871, -0.000267992756153105)
(58.10225475449559, -0.000592264082122352)
(-80.09812862894512, -0.000311686196600725)
(73.81388060068065, -0.00036700689023421)
(-12.566370614359172, 0)
(59.69026041820607, 0)
(56.548667764616276, 0)
(100.53096491487338, 0)
(-54.959678287888934, -0.000661908375587791)
(15.707963267948966, 0)
(-58.10225475449559, -0.000592264082122352)
(-15.707963267948966, 0)
(-37.69911184307752, 0)
(-29.81159879089296, -0.00224786935640603)
(-51.81698248727967, -0.000744601728471834)
(14.066193912831473, -0.0100574374624647)
(-72.25663103256524, 0)
(-36.10062224437561, -0.00153344254981861)
(-11909.777749758907, 0)
(47.1238898038469, 0)
(-89.52422093041719, -0.000249513880428108)
(65.97344572538566, 0)
(12.566370614359172, 0)
(21.991148575128552, 0)
(-3.141592653589793, 0)
(-6.283185307179586, 0)
(-65.97344572538566, 0)
(36.10062224437561, -0.00153344254981861)
(7.725251836937707, -0.0329600519859479)
(81.68140899333463, 0)
(78.53981633974483, 0)
(-73.81388060068065, -0.00036700689023421)
(23.519452498689006, -0.00360903571712935)
(-67.52943477714412, -0.000438478740327786)
(-83.2401924707234, -0.00028860321866995)
(42.38791356813192, -0.00111251088673472)
(51.81698248727967, -0.000744601728471834)
(-56.548667764616276, 0)
(-97.3893722612836, 0)
(37.69911184307752, 0)
(-21.991148575128552, 0)
(3.141592653589793, 0)
(69.11503837897546, 0)
(29.81159879089296, -0.00224786935640603)
(-50.26548245743669, 0)
(-94.2477796076938, 0)
(80.09812862894512, -0.000311686196600725)
(-7.725251836937707, -0.0329600519859479)
(-53.40707511102649, 0)
(-61.2447302603744, -0.000533060834814295)
(92.66619227762284, -0.000232882463806292)
(89.52422093041719, -0.000249513880428108)
(-42.38791356813192, -0.00111251088673472)
(-59.69026041820607, 0)
(-23.519452498689006, -0.00360903571712935)
(-207.34511513692635, 0)
(26.666054258812675, -0.0028086792975511)
(20.37130295928756, -0.00480780806192296)
(-87.96459430051421, 0)
(-28.274333882308138, 0)
(-95.8081387868617, -0.000217860190205359)
(64.38711959055742, -0.000482311099451838)
(6.283185307179586, 0)
(70.6716857116195, -0.000400361353240022)
(45.53113401399128, -0.000964281022986201)
(87.96459430051421, 0)
(43.982297150257104, 0)
(185.3539665617978, 0)
(-4.493409457909064, -0.0943808984516225)
(-64.38711959055742, -0.000482311099451838)
(-75.39822368615503, 0)
(-9.42477796076938, 0)
(-14.066193912831473, -0.0100574374624647)
(-31.41592653589793, 0)
(-45.53113401399128, -0.000964281022986201)
(72.25663103256524, 0)
(94.2477796076938, 0)
(-100.53096491487338, 0)
(95.8081387868617, -0.000217860190205359)
(-81.68140899333463, 0)
(50.26548245743669, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 48.6741442319544$$
$$x_{2} = -20.3713029592876$$
$$x_{3} = -86.3822220347287$$
$$x_{4} = 67.5294347771441$$
$$x_{5} = -39.2444323611642$$
$$x_{6} = 4.49340945790906$$
$$x_{7} = 86.3822220347287$$
$$x_{8} = 58.1022547544956$$
$$x_{9} = -80.0981286289451$$
$$x_{10} = 73.8138806006806$$
$$x_{11} = -54.9596782878889$$
$$x_{12} = -58.1022547544956$$
$$x_{13} = -29.811598790893$$
$$x_{14} = -51.8169824872797$$
$$x_{15} = 14.0661939128315$$
$$x_{16} = -36.1006222443756$$
$$x_{17} = -89.5242209304172$$
$$x_{18} = 36.1006222443756$$
$$x_{19} = 7.72525183693771$$
$$x_{20} = -73.8138806006806$$
$$x_{21} = 23.519452498689$$
$$x_{22} = -67.5294347771441$$
$$x_{23} = -83.2401924707234$$
$$x_{24} = 42.3879135681319$$
$$x_{25} = 51.8169824872797$$
$$x_{26} = 29.811598790893$$
$$x_{27} = 80.0981286289451$$
$$x_{28} = -7.72525183693771$$
$$x_{29} = -61.2447302603744$$
$$x_{30} = 92.6661922776228$$
$$x_{31} = 89.5242209304172$$
$$x_{32} = -42.3879135681319$$
$$x_{33} = -23.519452498689$$
$$x_{34} = 26.6660542588127$$
$$x_{35} = 20.3713029592876$$
$$x_{36} = -95.8081387868617$$
$$x_{37} = 64.3871195905574$$
$$x_{38} = 70.6716857116195$$
$$x_{39} = 45.5311340139913$$
$$x_{40} = -4.49340945790906$$
$$x_{41} = -64.3871195905574$$
$$x_{42} = -14.0661939128315$$
$$x_{43} = -45.5311340139913$$
$$x_{44} = 95.8081387868617$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{44} = 34.5575191894877$$
$$x_{44} = -939.336203423348$$
$$x_{44} = -43.9822971502571$$
$$x_{44} = 28.2743338823081$$
$$x_{44} = -12.5663706143592$$
$$x_{44} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = 56.5486677646163$$
$$x_{44} = 100.530964914873$$
$$x_{44} = 15.707963267949$$
$$x_{44} = -15.707963267949$$
$$x_{44} = -37.6991118430775$$
$$x_{44} = -72.2566310325652$$
$$x_{44} = -11909.7777497589$$
$$x_{44} = 47.1238898038469$$
$$x_{44} = 65.9734457253857$$
$$x_{44} = 12.5663706143592$$
$$x_{44} = 21.9911485751286$$
$$x_{44} = -3.14159265358979$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{44} = -65.9734457253857$$
$$x_{44} = 81.6814089933346$$
$$x_{44} = 78.5398163397448$$
$$x_{44} = -56.5486677646163$$
$$x_{44} = -97.3893722612836$$
$$x_{44} = 37.6991118430775$$
$$x_{44} = -21.9911485751286$$
$$x_{44} = 3.14159265358979$$
$$x_{44} = 69.1150383789755$$
$$x_{44} = -50.2654824574367$$
$$x_{44} = -94.2477796076938$$
$$x_{44} = -53.4070751110265$$
$$x_{44} = -59.6902604182061$$
$$x_{44} = -207.345115136926$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{44} = -28.2743338823081$$
$$x_{44} = 6.28318530717959$$
$$x_{44} = 87.9645943005142$$
$$x_{44} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = 185.353966561798$$
$$x_{44} = -75.398223686155$$
$$x_{44} = -9.42477796076938$$
$$x_{44} = -31.4159265358979$$
$$x_{44} = 72.2566310325652$$
$$x_{44} = 94.2477796076938$$
$$x_{44} = -100.530964914873$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{44} = 50.2654824574367$$
Decrece en los intervalos
$$\left[95.8081387868617, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.8081387868617\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1335.96152783466$$
$$x_{2} = -71.4570911320099$$
$$x_{3} = 24.3049190457346$$
$$x_{4} = -77.7414305824544$$
$$x_{5} = 40.0298544804573$$
$$x_{6} = 22.7339953909907$$
$$x_{7} = 8.51135078767434$$
$$x_{8} = 77.7414305824544$$
$$x_{9} = 30.5970389725585$$
$$x_{10} = -38.4590122703912$$
$$x_{11} = -47.888731676718$$
$$x_{12} = -99.7354646652444$$
$$x_{13} = 33.7418214227106$$
$$x_{14} = 25.8806097494708$$
$$x_{15} = -27.4515052410928$$
$$x_{16} = 84.025595846992$$
$$x_{17} = -32.1709600835167$$
$$x_{18} = -57.3168464266514$$
$$x_{19} = -5.28103240630265$$
$$x_{20} = -91.880790070283$$
$$x_{21} = -63.6017131240042$$
$$x_{22} = 66.7440290551475$$
$$x_{23} = 85.5968192243094$$
$$x_{24} = -11.6898582204548$$
$$x_{25} = 90.3096235943467$$
$$x_{26} = -35.3151982819233$$
$$x_{27} = 29.0261632399594$$
$$x_{28} = -69.8862806383665$$
$$x_{29} = -25.8806097494708$$
$$x_{30} = 62.0301381205536$$
$$x_{31} = -79.3127250697764$$
$$x_{32} = -54.1742687855514$$
$$x_{33} = 44.7457194481397$$
$$x_{34} = -49.4595578500579$$
$$x_{35} = -24.3049190457346$$
$$x_{36} = 41.6024965392658$$
$$x_{37} = 55.745088528446$$
$$x_{38} = -93.4515946389277$$
$$x_{39} = -3.70722846405825$$
$$x_{40} = -41.6024965392658$$
$$x_{41} = 38.4590122703912$$
$$x_{42} = 60.4593229336188$$
$$x_{43} = 742.199918425809$$
$$x_{44} = -76.1706223070459$$
$$x_{45} = -68.3148408970371$$
$$x_{46} = 96.5935408750673$$
$$x_{47} = -46.3165498784734$$
$$x_{48} = -82.4547893068791$$
$$x_{49} = -55.745088528446$$
$$x_{50} = 98.1646611098724$$
$$x_{51} = -8.51135078767434$$
$$x_{52} = 11.6898582204548$$
$$x_{53} = -19.5858273496712$$
$$x_{54} = 1.30308171092781$$
$$x_{55} = 46.3165498784734$$
$$x_{56} = 52.6023942608824$$
$$x_{57} = 18.0062837080869$$
$$x_{58} = -33.7418214227106$$
$$x_{59} = 32.1709600835167$$
$$x_{60} = 54.1742687855514$$
$$x_{61} = 91.880790070283$$
$$x_{62} = 74.5992854099041$$
$$x_{63} = -85.5968192243094$$
$$x_{64} = -84.025595846992$$
$$x_{65} = 68.3148408970371$$
$$x_{66} = 99.7354646652444$$
$$x_{67} = 82.4547893068791$$
$$x_{68} = -62.0301381205536$$
$$x_{69} = -102.877368081182$$
$$x_{70} = 88.7388184372412$$
$$x_{71} = 47.888731676718$$
$$x_{72} = 63.6017131240042$$
$$x_{73} = -40.0298544804573$$
$$x_{74} = 69.8862806383665$$
$$x_{75} = -90.3096235943467$$
$$x_{76} = -374.632259996929$$
$$x_{77} = 10.118480698715$$
$$x_{78} = -16.4352509360813$$
$$x_{79} = -1.30308171092781$$
$$x_{80} = -10.118480698715$$
$$x_{81} = 19.5858273496712$$
$$x_{82} = 3.70722846405825$$
$$x_{83} = -18.0062837080869$$
$$x_{84} = 76.1706223070459$$
$$x_{85} = -13.2806415733888$$
$$x_{86} = -60.4593229336188$$
$$x_{87} = 16.4352509360813$$
$$x_{88} = -98.1646611098724$$
$$x_{89} = -110.732171281162$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1335.96152783466, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -102.877368081182\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1335.96152783466$$
$$x_{2} = -71.4570911320099$$
$$x_{3} = 24.3049190457346$$
$$x_{4} = -77.7414305824544$$
$$x_{5} = 40.0298544804573$$
$$x_{6} = 22.7339953909907$$
$$x_{7} = 8.51135078767434$$
$$x_{8} = 77.7414305824544$$
$$x_{9} = 30.5970389725585$$
$$x_{10} = -38.4590122703912$$
$$x_{11} = -47.888731676718$$
$$x_{12} = -99.7354646652444$$
$$x_{13} = 33.7418214227106$$
$$x_{14} = 25.8806097494708$$
$$x_{15} = -27.4515052410928$$
$$x_{16} = 84.025595846992$$
$$x_{17} = -32.1709600835167$$
$$x_{18} = -57.3168464266514$$
$$x_{19} = -5.28103240630265$$
$$x_{20} = -91.880790070283$$
$$x_{21} = -63.6017131240042$$
$$x_{22} = 66.7440290551475$$
$$x_{23} = 85.5968192243094$$
$$x_{24} = -11.6898582204548$$
$$x_{25} = 90.3096235943467$$
$$x_{26} = -35.3151982819233$$
$$x_{27} = 29.0261632399594$$
$$x_{28} = -69.8862806383665$$
$$x_{29} = -25.8806097494708$$
$$x_{30} = 62.0301381205536$$
$$x_{31} = -79.3127250697764$$
$$x_{32} = -54.1742687855514$$
$$x_{33} = 44.7457194481397$$
$$x_{34} = -49.4595578500579$$
$$x_{35} = -24.3049190457346$$
$$x_{36} = 41.6024965392658$$
$$x_{37} = 55.745088528446$$
$$x_{38} = -93.4515946389277$$
$$x_{39} = -3.70722846405825$$
$$x_{40} = -41.6024965392658$$
$$x_{41} = 38.4590122703912$$
$$x_{42} = 60.4593229336188$$
$$x_{43} = 742.199918425809$$
$$x_{44} = -76.1706223070459$$
$$x_{45} = -68.3148408970371$$
$$x_{46} = 96.5935408750673$$
$$x_{47} = -46.3165498784734$$
$$x_{48} = -82.4547893068791$$
$$x_{49} = -55.745088528446$$
$$x_{50} = 98.1646611098724$$
$$x_{51} = -8.51135078767434$$
$$x_{52} = 11.6898582204548$$
$$x_{53} = -19.5858273496712$$
$$x_{54} = 1.30308171092781$$
$$x_{55} = 46.3165498784734$$
$$x_{56} = 52.6023942608824$$
$$x_{57} = 18.0062837080869$$
$$x_{58} = -33.7418214227106$$
$$x_{59} = 32.1709600835167$$
$$x_{60} = 54.1742687855514$$
$$x_{61} = 91.880790070283$$
$$x_{62} = 74.5992854099041$$
$$x_{63} = -85.5968192243094$$
$$x_{64} = -84.025595846992$$
$$x_{65} = 68.3148408970371$$
$$x_{66} = 99.7354646652444$$
$$x_{67} = 82.4547893068791$$
$$x_{68} = -62.0301381205536$$
$$x_{69} = -102.877368081182$$
$$x_{70} = 88.7388184372412$$
$$x_{71} = 47.888731676718$$
$$x_{72} = 63.6017131240042$$
$$x_{73} = -40.0298544804573$$
$$x_{74} = 69.8862806383665$$
$$x_{75} = -90.3096235943467$$
$$x_{76} = -374.632259996929$$
$$x_{77} = 10.118480698715$$
$$x_{78} = -16.4352509360813$$
$$x_{79} = -1.30308171092781$$
$$x_{80} = -10.118480698715$$
$$x_{81} = 19.5858273496712$$
$$x_{82} = 3.70722846405825$$
$$x_{83} = -18.0062837080869$$
$$x_{84} = 76.1706223070459$$
$$x_{85} = -13.2806415733888$$
$$x_{86} = -60.4593229336188$$
$$x_{87} = 16.4352509360813$$
$$x_{88} = -98.1646611098724$$
$$x_{89} = -110.732171281162$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1335.96152783466, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -102.877368081182\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + cos(2*x))/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par