Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2-4*x+3)/(3*x-2)

Gráfico de la función y = sqrt(x^2-4*x+3)/(3*x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________
         /  2           
       \/  x  - 4*x + 3 
f(x) = -----------------
            3*x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{3 x - 2}$$ 
f = sqrt(x^2 - 4*x + 3)/(3*x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{3 x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2 - 4*x + 3)/(3*x - 2).
$$\frac{\sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 3}}{-2 + 0 \cdot 3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Punto:
(0, -sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x - 2}{\left(3 x - 2\right) \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}} - \frac{3 \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{\left(3 x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
          ___ 
      I*\/ 7  
(5/4, -------)
         7


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{3 x - 2}\right) = - \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{3 x - 2}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{3}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 - 4*x + 3)/(3*x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{x \left(3 x - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{x \left(3 x - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{3 x - 2} = \frac{\sqrt{x^{2} + 4 x + 3}}{- 3 x - 2}$$
- No
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{3 x - 2} = - \frac{\sqrt{x^{2} + 4 x + 3}}{- 3 x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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