Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccosh(x)-arccosh(2x)-arccosh(3x)

Gráfico de la función y = arccosh(x)-arccosh(2x)-arccosh(3x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = acosh(x) - acosh(2*x) - acosh(3*x)
f(x)=(acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x)f{\left(x \right)} = \left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)} 
f = acosh(x) - acosh(2*x) - acosh(3*x)
Gráfico de la función
1.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0-6-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x)=0\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.312313414530517x_{1} = 0.312313414530517
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acosh(x) - acosh(2*x) - acosh(3*x).
−acosh⁡(0⋅3)+(−acosh⁡(0⋅2)+acosh⁡(0))- \operatorname{acosh}{\left(0 \cdot 3 \right)} + \left(- \operatorname{acosh}{\left(0 \cdot 2 \right)} + \operatorname{acosh}{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=−iπ2f{\left(0 \right)} = - \frac{i \pi}{2}
Punto:
(0, -pi*i/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−39x2−1−24x2−1+1x2−1=0- \frac{3}{\sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1010381+7⋅102381+4981x_{1} = - \sqrt{\frac{10 \sqrt[3]{10}}{81} + \frac{7 \cdot 10^{\frac{2}{3}}}{81} + \frac{49}{81}}
x2=1010381+7⋅102381+4981x_{2} = \sqrt{\frac{10 \sqrt[3]{10}}{81} + \frac{7 \cdot 10^{\frac{2}{3}}}{81} + \frac{49}{81}}
Signos de extremos en los puntos:
       __________________________         /        __________________________\        /        __________________________\        /      __________________________\ 
      /          2/3      3 ____          |       /          2/3      3 ____ |        |       /          2/3      3 ____ |        |     /          2/3      3 ____ | 
     /  49   7*10      10*\/ 10           |      /  49   7*10      10*\/ 10  |        |      /  49   7*10      10*\/ 10  |        |    /  49   7*10      10*\/ 10  | 
(-  /   -- + ------- + ---------, - acosh|-3*  /   -- + ------- + --------- | - acosh|-2*  /   -- + ------- + --------- | + acosh|-  /   -- + ------- + --------- |)
  \/    81      81         81             \   \/    81      81         81    /        \   \/    81      81         81    /        \ \/    81      81         81    / 

      __________________________         /       __________________________\        /       __________________________\        /     __________________________\ 
     /          2/3      3 ____          |      /          2/3      3 ____ |        |      /          2/3      3 ____ |        |    /          2/3      3 ____ | 
    /  49   7*10      10*\/ 10           |     /  49   7*10      10*\/ 10  |        |     /  49   7*10      10*\/ 10  |        |   /  49   7*10      10*\/ 10  | 
(  /   -- + ------- + ---------, - acosh|2*  /   -- + ------- + --------- | - acosh|3*  /   -- + ------- + --------- | + acosh|  /   -- + ------- + --------- |)
 \/    81      81         81             \  \/    81      81         81    /        \  \/    81      81         81    /        \\/    81      81         81    /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−1010381+7⋅102381+4981x_{2} = - \sqrt{\frac{10 \sqrt[3]{10}}{81} + \frac{7 \cdot 10^{\frac{2}{3}}}{81} + \frac{49}{81}}
x2=1010381+7⋅102381+4981x_{2} = \sqrt{\frac{10 \sqrt[3]{10}}{81} + \frac{7 \cdot 10^{\frac{2}{3}}}{81} + \frac{49}{81}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−1010381+7⋅102381+4981]\left(-\infty, - \sqrt{\frac{10 \sqrt[3]{10}}{81} + \frac{7 \cdot 10^{\frac{2}{3}}}{81} + \frac{49}{81}}\right]
Crece en los intervalos
[1010381+7⋅102381+4981,∞)\left[\sqrt{\frac{10 \sqrt[3]{10}}{81} + \frac{7 \cdot 10^{\frac{2}{3}}}{81} + \frac{49}{81}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acosh(x) - acosh(2*x) - acosh(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x)=−acosh⁡(−3x)−acosh⁡(−2x)+acosh⁡(−x)\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)} = - \operatorname{acosh}{\left(- 3 x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(- 2 x \right)} + \operatorname{acosh}{\left(- x \right)}
- No
(acosh⁡(x)−acosh⁡(2x))−acosh⁡(3x)=acosh⁡(−3x)+acosh⁡(−2x)−acosh⁡(−x)\left(\operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(2 x \right)}\right) - \operatorname{acosh}{\left(3 x \right)} = \operatorname{acosh}{\left(- 3 x \right)} + \operatorname{acosh}{\left(- 2 x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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