Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lg(9-x^2)+((x^2)-4)^(1/4)

Gráfico de la función y = lg(9-x^2)+((x^2)-4)^(1/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        ________
          /     2\   4 /  2     
f(x) = log\9 - x / + \/  x  - 4
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)}$$ 
f = (x^2 - 4)^(1/4) + log(9 - x^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(9 - x^2) + (x^2 - 4)^(1/4).
$$\log{\left(9 - 0^{2} \right)} + \sqrt[4]{-4 + 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(9 \right)} + \sqrt[4]{-1} \sqrt{2}$$
Punto:
(0, (-1)^(1/4)*sqrt(2) + log(9))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{2 \left(x^{2} - 4\right)^{\frac{3}{4}}} - \frac{2 x}{9 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
    4 ____   ___          
(0, \/ -1 *\/ 2  + log(9))

    ___             
(-\/ 5, 1 + log(4))

   ___             
(\/ 5, 1 + log(4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\sqrt{5}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(9 - x^2) + (x^2 - 4)^(1/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)} = \sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)}$$
- Sí
$$\sqrt[4]{x^{2} - 4} + \log{\left(9 - x^{2} \right)} = - \sqrt[4]{x^{2} - 4} - \log{\left(9 - x^{2} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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