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(3x^2-24x+48)/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (3x^2-24x+48)/(x-1)

Gráfico de la función y = (3x^2-24x+48)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
       3*x  - 24*x + 48
f(x) = ----------------
            x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x - 1}$$ 
f = (3*x^2 - 24*x + 48)/(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 4.00000092577245$$
$$x_{3} = 4.00000106309469$$
$$x_{4} = 4.00000110455882$$
$$x_{5} = 4.00000079943602$$
$$x_{6} = 4.00000100675352$$
$$x_{7} = 4.00000057455928$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x^2 - 24*x + 48)/(x - 1).
$$\frac{\left(3 \cdot 0^{2} - 0\right) + 48}{-1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -48$$
Punto:
(0, -48)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x - 24}{x - 1} - \frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -36)

(4, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-2, 4\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^2 - 24*x + 48)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x \left(x - 1\right)}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x \left(x - 1\right)}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 3 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x - 1} = \frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 48}{x - 1} = - \frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (3x^2-24x+48)/(x-1)
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