Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sinx+(sinx)^2

Gráfico de la función y = sinx+(sinx)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2   
f(x) = sin(x) + sin (x)
f(x)=sin⁡2(x)+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} 
f = sin(x)^2 + sin(x)
Gráfico de la función
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.02.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)+sin⁡(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−50.2654824574367x_{1} = -50.2654824574367
x2=−70.6858346750384x_{2} = -70.6858346750384
x3=67.5442422387326x_{3} = 67.5442422387326
x4=91.106186954104x_{4} = 91.106186954104
x5=−3.14159265358979x_{5} = -3.14159265358979
x6=17.2787594994858x_{6} = 17.2787594994858
x7=72.2566310325652x_{7} = 72.2566310325652
x8=−43.9822971502571x_{8} = -43.9822971502571
x9=−89.5353901159531x_{9} = -89.5353901159531
x10=40.8407044966673x_{10} = 40.8407044966673
x11=−32.9867232359983x_{11} = -32.9867232359983
x12=−37.6991118430775x_{12} = -37.6991118430775
x13=−20.4203520633206x_{13} = -20.4203520633206
x14=−91.106186954104x_{14} = -91.106186954104
x15=34.5575191894877x_{15} = 34.5575191894877
x16=−12.5663706143592x_{16} = -12.5663706143592
x17=−94.2477796076938x_{17} = -94.2477796076938
x18=−32.9867224730462x_{18} = -32.9867224730462
x19=−45.5530935853668x_{19} = -45.5530935853668
x20=−56.5486677646163x_{20} = -56.5486677646163
x21=−21.9911485751286x_{21} = -21.9911485751286
x22=50.2654824574367x_{22} = 50.2654824574367
x23=−15.707963267949x_{23} = -15.707963267949
x24=−7.85398150061792x_{24} = -7.85398150061792
x25=36.1283157927187x_{25} = 36.1283157927187
x26=21.9911485751286x_{26} = 21.9911485751286
x27=−87.9645943005142x_{27} = -87.9645943005142
x28=−72.2566310325652x_{28} = -72.2566310325652
x29=59.6902604182061x_{29} = 59.6902604182061
x30=98.9601686349023x_{30} = 98.9601686349023
x31=84.8230016469244x_{31} = 84.8230016469244
x32=29.8451303173708x_{32} = 29.8451303173708
x33=−40.8407044966673x_{33} = -40.8407044966673
x34=−51.8362786901812x_{34} = -51.8362786901812
x35=−9.42477796076938x_{35} = -9.42477796076938
x36=−1.57079642735461x_{36} = -1.57079642735461
x37=31.4159265358979x_{37} = 31.4159265358979
x38=−26.7035379972524x_{38} = -26.7035379972524
x39=−65.9734457253857x_{39} = -65.9734457253857
x40=48.6946859526732x_{40} = 48.6946859526732
x41=15.707963267949x_{41} = 15.707963267949
x42=92.6769831047852x_{42} = 92.6769831047852
x43=−89.5353907430632x_{43} = -89.5353907430632
x44=28.2743338823081x_{44} = 28.2743338823081
x45=80.1106131505346x_{45} = 80.1106131505346
x46=94.2477796076938x_{46} = 94.2477796076938
x47=69.1150383789755x_{47} = 69.1150383789755
x48=37.6991118430775x_{48} = 37.6991118430775
x49=6.28318530717959x_{49} = 6.28318530717959
x50=−58.1194640010631x_{50} = -58.1194640010631
x51=54.9778715673102x_{51} = 54.9778715673102
x52=−53.4070751110265x_{52} = -53.4070751110265
x53=73.8274274758159x_{53} = 73.8274274758159
x54=−6.28318530717959x_{54} = -6.28318530717959
x55=−75.398223686155x_{55} = -75.398223686155
x56=−14.1371668415708x_{56} = -14.1371668415708
x57=−83.2522054990561x_{57} = -83.2522054990561
x58=0x_{58} = 0
x59=17.2787599718548x_{59} = 17.2787599718548
x60=−64.4026492153213x_{60} = -64.4026492153213
x61=−62.8318530717959x_{61} = -62.8318530717959
x62=−34.5575191894877x_{62} = -34.5575191894877
x63=−97.3893722612836x_{63} = -97.3893722612836
x64=98.9601685293103x_{64} = 98.9601685293103
x65=−76.9690201700248x_{65} = -76.9690201700248
x66=−95.8185758682081x_{66} = -95.8185758682081
x67=−28.2743338823081x_{67} = -28.2743338823081
x68=81.6814089933346x_{68} = 81.6814089933346
x69=4.71238880126794x_{69} = 4.71238880126794
x70=100.530964914873x_{70} = 100.530964914873
x71=54.9778709836x_{71} = 54.9778709836
x72=23.5619450880496x_{72} = 23.5619450880496
x73=47.1238898038469x_{73} = 47.1238898038469
x74=61.2610565484827x_{74} = 61.2610565484827
x75=−84.8230016469244x_{75} = -84.8230016469244
x76=25.1327412287183x_{76} = 25.1327412287183
x77=42.4115007309741x_{77} = 42.4115007309741
x78=−18.8495559215388x_{78} = -18.8495559215388
x79=61.261057240759x_{79} = 61.261057240759
x80=10.9955738002317x_{80} = 10.9955738002317
x81=78.5398163397448x_{81} = 78.5398163397448
x82=−39.2699083493443x_{82} = -39.2699083493443
x83=12.5663706143592x_{83} = 12.5663706143592
x84=87.9645943005142x_{84} = 87.9645943005142
x85=−100.530964914873x_{85} = -100.530964914873
x86=86.3937978896245x_{86} = 86.3937978896245
x87=43.9822971502571x_{87} = 43.9822971502571
x88=−31.4159265358979x_{88} = -31.4159265358979
x89=−81.6814089933346x_{89} = -81.6814089933346
x90=56.5486677646163x_{90} = 56.5486677646163
x91=3.14159265358979x_{91} = 3.14159265358979
x92=10.9955745314484x_{92} = 10.9955745314484
x93=−59.6902604182061x_{93} = -59.6902604182061
x94=−76.969019611197x_{94} = -76.969019611197
x95=65.9734457253857x_{95} = 65.9734457253857
x96=−26.7035375777291x_{96} = -26.7035375777291
x97=−51.8362785033387x_{97} = -51.8362785033387
x98=75.398223686155x_{98} = 75.398223686155
x99=−47.1238898038469x_{99} = -47.1238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + sin(x)^2.
sin⁡(0)+sin⁡2(0)\sin{\left(0 \right)} + \sin^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi       
(-----, -1/4)
   6         

 -pi     
(----, 0)
  2      

 -pi        
(----, -1/4)
  6         

 pi    
(--, 2)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−5π6,−π2]∪[−π6,∞)\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5π6]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)−sin⁡(x)+2cos⁡2(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(−14+29−334+334)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x2=2atan⁡(14+233+94+334)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x3=2atan⁡(−334+14+29−334)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}
x4=2atan⁡(−233+94+14+334)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(14+233+94+334),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2atan⁡(−334+14+29−334)]∪[2atan⁡(−233+94+14+334),2atan⁡(14+233+94+334)]\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+sin⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+sin⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)+sin⁡(x)=sin⁡2(x)−sin⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}
- No
sin⁡2(x)+sin⁡(x)=−sin⁡2(x)+sin⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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