Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2 \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^-}\left(\frac{\frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2 \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^+}\left(\frac{\frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2 \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico