Sr Examen

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Gráfico de la función y = log((1/(1-log(x)))^(x/log(2))*log(2)^(-x/log(2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /              x                  \
          |            ------          -x   |
          |            log(2)         ------|
          |/    1     \               log(2)|
f(x) = log||----------|      *(log(2))      |
          \\1 - log(x)/                     /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)}$$
f = log((1/(1 - log(x)))^(x/log(2))*log(2)^((-x)/log(2)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = e^{1 - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.642303053391899$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((1/(1 - log(x)))^(x/log(2))*log(2)^((-x)/log(2))).
$$\log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(0 \right)}}\right)^{\frac{0}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) 0}{\log{\left(2 \right)}}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{1}{\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} - \frac{\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{- \frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.286492680825126$$
Signos de extremos en los puntos:
                         /                 0.286492680825126         -0.286492680825126\ 
                         |                 -----------------         ------------------| 
                         |                       log(2)                    log(2)      | 
(0.28649268082512597, log\0.444436091018861                 *(log(2))                  /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0.286492680825126$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0.286492680825126, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.286492680825126\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2 \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$

$$\lim_{x \to 2.71828182845905^-}\left(\frac{\frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2 \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^+}\left(\frac{\frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right)}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2 \left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(\log{\left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} - 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((1/(1 - log(x)))^(x/log(2))*log(2)^((-x)/log(2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)} = \log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(- x \right)}}\right)^{- \frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(x \right)}}\right)^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{\left(-1\right) x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)} = - \log{\left(\left(\frac{1}{1 - \log{\left(- x \right)}}\right)^{- \frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \log{\left(2 \right)}^{\frac{x}{\log{\left(2 \right)}}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar