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4,5*((x-1)^2)^(1/3)+4,5x-4,5
Trazado el gráfico de la función/ 4,5*((x-1)^2)^(1/3)+4,5x-4,5

Gráfico de la función y = 4,5*((x-1)^2)^(1/3)+4,5x-4,5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            __________          
         3 /        2           
       9*\/  (x - 1)     9*x   9
f(x) = --------------- + --- - -
              2           2    2
f(x)=(9x2+9(x−1)232)−92f{\left(x \right)} = \left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2} 
f = 9*x/2 + 9*((x - 1)^2)^(1/3)/2 - 9/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(9x2+9(x−1)232)−92=0\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 9*((x - 1)^2)^(1/3)/2 + 9*x/2 - 9/2.
−92+(0⋅92+9(−1)232)- \frac{9}{2} + \left(\frac{0 \cdot 9}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(-1\right)^{2}}}{2}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
9(2x3−23)∣x−1∣232(x−1)2+92=0\frac{9 \left(\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{2 \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{9}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1927x_{1} = \frac{19}{27}
Signos de extremos en los puntos:
 19      
(--, 2/3)
 27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1927x_{1} = \frac{19}{27}
Decrece en los intervalos
(−∞,1927]\left(-\infty, \frac{19}{27}\right]
Crece en los intervalos
[1927,∞)\left[\frac{19}{27}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sign⁡(x−1)∣x−1∣3−3∣x−1∣23x−1x−1=0\frac{\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 1}\right|}} - \frac{3 \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 1}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((9x2+9(x−1)232)−92)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((9x2+9(x−1)232)−92)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 9*((x - 1)^2)^(1/3)/2 + 9*x/2 - 9/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((9x2+9(x−1)232)−92x)=92\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2}}{x}\right) = \frac{9}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=9x2y = \frac{9 x}{2}
lim⁡x→∞((9x2+9(x−1)232)−92x)=92\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2}}{x}\right) = \frac{9}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=9x2y = \frac{9 x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(9x2+9(x−1)232)−92=−9x2+9∣x+1∣232−92\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2} = - \frac{9 x}{2} + \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{9}{2}
- No
(9x2+9(x−1)232)−92=9x2−9∣x+1∣232+92\left(\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{2}\right) - \frac{9}{2} = \frac{9 x}{2} - \frac{9 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{9}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 4,5*((x-1)^2)^(1/3)+4,5x-4,5
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