Sr Examen

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¿Cómo usar?
Gráfico de la función y =:
x/(x^2-1)^(1/3)
(x^3+16)/x
(x^3-x^2)/(4-x^2)
x^3+3*x^2+1
Expresiones idénticas
(dos x^ dos -8x+ nueve)/(x^2- tres x+3)
(2x al cuadrado menos 8x más 9) dividir por (x al cuadrado menos 3x más 3)
(dos x en el grado dos menos 8x más nueve) dividir por (x al cuadrado menos tres x más 3)
(2x2-8x+9)/(x2-3x+3)
2x2-8x+9/x2-3x+3
(2x²-8x+9)/(x²-3x+3)
(2x en el grado 2-8x+9)/(x en el grado 2-3x+3)
2x^2-8x+9/x^2-3x+3
(2x^2-8x+9) dividir por (x^2-3x+3)
Expresiones semejantes
(2x^2-8x-9)/(x^2-3x+3)
(2x^2-8x+9)/(x^2-3x-3)
(2x^2+8x+9)/(x^2-3x+3)
(2x^2-8x+9)/(x^2+3x+3)

Trazado el gráfico de la función/ (2x^2-8x+9)/(x^2-3x+3)

Gráfico de la función y = (2x^2-8x+9)/(x^2-3x+3)

Solución

Ha introducido [src]

          2          
       2*x  - 8*x + 9
f(x) = --------------
         2           
        x  - 3*x + 3

f{\left(x \right)} = \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}

f = (2*x^2 - 8*x + 9)/(x^2 - 3*x + 3)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x^2 - 8*x + 9)/(x^2 - 3*x + 3).

\frac{\left(2 \cdot 0^{2} - 0\right) + 9}{\left(0^{2} - 0\right) + 3}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 3

Punto:

(0, 3)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{4 x - 8}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}

x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}

Signos de extremos en los puntos:

                              2           
                   /      ___\            
                   |3   \/ 3 |        ___ 
       ___  -3 + 2*|- - -----|  + 4*\/ 3  
 3   \/ 3          \2     2  /            
(- - -----, -----------------------------)
 2     2                      2           
                   /      ___\        ___ 
               3   |3   \/ 3 |    3*\/ 3  
             - - + |- - -----|  + ------- 
               2   \2     2  /       2

                                        2 
                             /      ___\  
                     ___     |3   \/ 3 |  
       ___  -3 - 4*\/ 3  + 2*|- + -----|  
 3   \/ 3                    \2     2  /  
(- + -----, -----------------------------)
 2     2                      2           
                   /      ___\        ___ 
               3   |3   \/ 3 |    3*\/ 3  
             - - + |- + -----|  - ------- 
               2   \2     2  /       2

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:

x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}

Puntos máximos de la función:

x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}

Decrece en los intervalos

\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)

Crece en los intervalos

\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right]

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{\left(2 x \left(x - 4\right) + 9\right) \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 0

x_{2} = \frac{3}{2}

x_{3} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)

Convexa en los intervalos

\left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = 2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 2

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = 2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 2

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^2 - 8*x + 9)/(x^2 - 3*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = \frac{2 x^{2} + 8 x + 9}{x^{2} + 3 x + 3}

- No

\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = - \frac{2 x^{2} + 8 x + 9}{x^{2} + 3 x + 3}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = (2x^2-8x+9)/(x^2-3x+3)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución