Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- (dos x^ dos -8x+ nueve)/(x^2- tres x+3)
- (2x al cuadrado menos 8x más 9) dividir por (x al cuadrado menos 3x más 3)
- (dos x en el grado dos menos 8x más nueve) dividir por (x al cuadrado menos tres x más 3)
- (2x2-8x+9)/(x2-3x+3)
- 2x2-8x+9/x2-3x+3
- (2x²-8x+9)/(x²-3x+3)
- (2x en el grado 2-8x+9)/(x en el grado 2-3x+3)
- 2x^2-8x+9/x^2-3x+3
- (2x^2-8x+9) dividir por (x^2-3x+3)
-
Expresiones semejantes
- (2x^2-8x+9)/(x^2-3x-3)
- (2x^2-8x-9)/(x^2-3x+3)
- (2x^2-8x+9)/(x^2+3x+3)
- (2x^2+8x+9)/(x^2-3x+3)
Gráfico de la función y = (2x^2-8x+9)/(x^2-3x+3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2*x - 8*x + 9
f(x) = --------------
2
x - 3*x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}$$
f = (2*x^2 - 8*x + 9)/(x^2 - 3*x + 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{4 x - 8}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{4 x - 8}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ___\
|3 \/ 3 | ___
___ -3 + 2*|- - -----| + 4*\/ 3
3 \/ 3 \2 2 /
(- - -----, -----------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
3 |3 \/ 3 | 3*\/ 3
- - + |- - -----| + -------
2 \2 2 / 2 2
/ ___\
___ |3 \/ 3 |
___ -3 - 4*\/ 3 + 2*|- + -----|
3 \/ 3 \2 2 /
(- + -----, -----------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
3 |3 \/ 3 | 3*\/ 3
- - + |- + -----| - -------
2 \2 2 / 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{\left(2 x \left(x - 4\right) + 9\right) \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x - 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{\left(2 x \left(x - 4\right) + 9\right) \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^2 - 8*x + 9)/(x^2 - 3*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = \frac{2 x^{2} + 8 x + 9}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = - \frac{2 x^{2} + 8 x + 9}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = \frac{2 x^{2} + 8 x + 9}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 9}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = - \frac{2 x^{2} + 8 x + 9}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico