Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^11
-
3*x+8
-
-sqrt(-1-x^2)
-
(4*x^2)/(3+x^2)
-
Expresiones idénticas
- exp(-x)/(uno +e^(-x))^ dos
- exponente de ( menos x) dividir por (1 más e en el grado ( menos x)) al cuadrado
- exponente de ( menos x) dividir por (uno más e en el grado ( menos x)) en el grado dos
- exp(-x)/(1+e(-x))2
- exp-x/1+e-x2
- exp(-x)/(1+e^(-x))²
- exp(-x)/(1+e en el grado (-x)) en el grado 2
- exp-x/1+e^-x^2
- exp(-x) dividir por (1+e^(-x))^2
-
Expresiones semejantes
- exp(-x)/(1+e^(x))^2
- exp(x)/(1+e^(-x))^2
- exp(-x)/(1-e^(-x))^2
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(x^5)
- exp(1/(3-x))
- exp(-exp(-1/tan(x)))
- exp(-1/2-x/2-lambertw(exp(-1-x)/(2*x))/2)/sqrt(x)
- exp(arctgx)
Gráfico de la función y = exp(-x)/(1+e^(-x))^2
Solución
Ha introducido
[src]
-x
e
f(x) = ----------
2
/ -x\
\1 + E /
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$
f = exp(-x)/(1 + E^(-x))^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} + \frac{2 e^{- 2 x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} + \frac{2 e^{- 2 x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(- \frac{2 \left(1 - \frac{3 e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right) e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1 - \frac{4 e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right) e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}\right] \cup \left[\log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}, \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(- \frac{2 \left(1 - \frac{3 e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right) e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1 - \frac{4 e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right) e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}\right] \cup \left[\log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}, \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-x)/(1 + E^(-x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{x \left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{x \left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{x \left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{x \left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar