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Trazado el gráfico de la función/ exp(-1/2-x/2-lambertw(exp(-1-x)/(2*x))/2)/sqrt(x)

Gráfico de la función y = exp(-1/2-x/2-lambertw(exp(-1-x)/(2*x))/2)/sqrt(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   / -1 - x\
                   |e      |
                  W|-------|
          1   x    \  2*x  /
        - - - - - ----------
          2   2       2     
       e                    
f(x) = ---------------------
                 ___        
               \/ x
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{2}}}{\sqrt{x}}$$ 
f = exp(-x/2 - 1/2 - LambertW(exp(-x - 1)/((2*x)))/2)/sqrt(x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{2}}}{\sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-1/2 - x/2 - LambertW(exp(-1 - x)/((2*x)))/2)/sqrt(x).
$$\frac{e^{\left(- \frac{1}{2} - \frac{0}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{1}{0 \cdot 2 e}\right)}{2}}}{\sqrt{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty} e^{- \frac{W\left(\tilde{\infty}\right)}{2} - \frac{1}{2}}$$
Punto:
(0, ±oo*exp(-1/2 - LambertW(±oo)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- \frac{x \left(- \frac{1}{2 x} e^{- x - 1} - \frac{e^{- x - 1}}{2 x^{2}}\right) e^{x + 1} W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right) + 1} - \frac{1}{2}\right) e^{\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{2}}}{\sqrt{x}} - \frac{e^{\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
         -W(-1/2)  
         --------- 
             2     
(-1, -I*e         )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{2}}}{\sqrt{x}} = \frac{e^{\frac{x}{2} - \frac{W\left(- \frac{e^{x - 1}}{2 x}\right)}{2} - \frac{1}{2}}}{\sqrt{- x}}$$
- No
$$\frac{e^{\left(- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{W\left(\frac{e^{- x - 1}}{2 x}\right)}{2}}}{\sqrt{x}} = - \frac{e^{\frac{x}{2} - \frac{W\left(- \frac{e^{x - 1}}{2 x}\right)}{2} - \frac{1}{2}}}{\sqrt{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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