Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lambertw(x*exp(-1))

Gráfico de la función y = lambertw(x*exp(-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        /   -1\
f(x) = W\x*e  /
f(x)=W(xe)f{\left(x \right)} = W\left(\frac{x}{e}\right) 
f = LambertW(x*exp(-1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
W(xe)=0W\left(\frac{x}{e}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en LambertW(x*exp(-1)).
W(0e)W\left(\frac{0}{e}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
W(xe)x(W(xe)+1)=0\frac{W\left(\frac{x}{e}\right)}{x \left(W\left(\frac{x}{e}\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−1+1W(xe)+1−W(xe)(W(xe)+1)2)W(xe)x2(W(xe)+1)=0\frac{\left(-1 + \frac{1}{W\left(\frac{x}{e}\right) + 1} - \frac{W\left(\frac{x}{e}\right)}{\left(W\left(\frac{x}{e}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(\frac{x}{e}\right)}{x^{2} \left(W\left(\frac{x}{e}\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞W(xe)=−∞\lim_{x \to -\infty} W\left(\frac{x}{e}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞W(xe)=∞\lim_{x \to \infty} W\left(\frac{x}{e}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función LambertW(x*exp(-1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(W(xe)x)=e−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{W\left(\frac{x}{e}\right)}{x}\right) = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xey = \frac{x}{e}
lim⁡x→∞(W(xe)x)=e−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{W\left(\frac{x}{e}\right)}{x}\right) = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xey = \frac{x}{e}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
W(xe)=W(−xe)W\left(\frac{x}{e}\right) = W\left(- \frac{x}{e}\right)
- No
W(xe)=−W(−xe)W\left(\frac{x}{e}\right) = - W\left(- \frac{x}{e}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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