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Trazado el gráfico de la función/ exp(-sqrt(-log(-1+sin(x))+log(1+sin(x))))

Gráfico de la función y = exp(-sqrt(-log(-1+sin(x))+log(1+sin(x))))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _____________________________________
        -\/ -log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x)) 
f(x) = e
f(x)=e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)f{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} 
f = exp(-sqrt(-log(sin(x) - 1) + log(sin(x) + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)=0e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-sqrt(-log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x)))).
e−log⁡(sin⁡(0)+1)−log⁡(−1+sin⁡(0))e^{- \sqrt{\log{\left(\sin{\left(0 \right)} + 1 \right)} - \log{\left(-1 + \sin{\left(0 \right)} \right)}}}
Resultado:
f(0)=e−π−if{\left(0 \right)} = e^{- \sqrt{\pi} \sqrt{- i}}
Punto:
(0, exp(-sqrt(pi)*sqrt(-i)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(cos⁡(x)2(sin⁡(x)+1)−cos⁡(x)2(sin⁡(x)−1))e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)=0- \frac{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)}\right) e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}}{\sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)=e−−log⁡(⟨−2,0⟩)+log⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to -\infty} e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} = e^{- \sqrt{- \log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)} + \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−−log⁡(⟨−2,0⟩)+log⁡(⟨0,2⟩)y = e^{- \sqrt{- \log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)} + \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}}
lim⁡x→∞e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)=e−−log⁡(⟨−2,0⟩)+log⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to \infty} e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} = e^{- \sqrt{- \log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)} + \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−−log⁡(⟨−2,0⟩)+log⁡(⟨0,2⟩)y = e^{- \sqrt{- \log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)} + \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-sqrt(-log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)=e−log⁡(1−sin⁡(x))−log⁡(−sin⁡(x)−1)e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} = e^{- \sqrt{\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}}
- No
e−−log⁡(sin⁡(x)−1)+log⁡(sin⁡(x)+1)=−e−log⁡(1−sin⁡(x))−log⁡(−sin⁡(x)−1)e^{- \sqrt{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}} = - e^{- \sqrt{\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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