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Trazado el gráfico de la función/ exp(1-sqrt(1+x^2)-lambertw(exp(2-2*sqrt(1+x^2)))/2)

Gráfico de la función y = exp(1-sqrt(1+x^2)-lambertw(exp(2-2*sqrt(1+x^2)))/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                           /          ________\
                           |         /      2 |
               ________    | 2 - 2*\/  1 + x  |
              /      2    W\e                 /
        1 - \/  1 + x   - ---------------------
                                    2          
f(x) = e
f(x)=e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2f{\left(x \right)} = e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} 
f = exp(1 - sqrt(x^2 + 1) - LambertW(exp(2 - 2*sqrt(x^2 + 1)))/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2=0e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(1 - sqrt(1 + x^2) - LambertW(exp(2 - 2*sqrt(1 + x^2)))/2).
e−W(e2−202+1)2+(1−02+1)e^{- \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{0^{2} + 1}}\right)}{2} + \left(1 - \sqrt{0^{2} + 1}\right)}
Resultado:
f(0)=e−W(1)2f{\left(0 \right)} = e^{- \frac{W\left(1\right)}{2}}
Punto:
(0, exp(-LambertW(1)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−xx2+1+xe2−2x2+1e2x2+1−2W(e2−2x2+1)x2+1(W(e2−2x2+1)+1))e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2=0\left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}} e^{2 \sqrt{x^{2} + 1} - 2} W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right) + 1\right)}\right) e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
     -W(1)  
     ------ 
       2    
(0, e      )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2=0\lim_{x \to -\infty} e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2=0\lim_{x \to \infty} e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1 - sqrt(1 + x^2) - LambertW(exp(2 - 2*sqrt(1 + x^2)))/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2=e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} = e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}}
- Sí
e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2=−e(1−x2+1)−W(e2−2x2+1)2e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}} = - e^{\left(1 - \sqrt{x^{2} + 1}\right) - \frac{W\left(e^{2 - 2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{2}}
- No
es decir, función
es
par
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