Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lambertw(-exp(atan(x)))

Gráfico de la función y = lambertw(-exp(atan(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        /  atan(x)\
f(x) = W\-e       /
f(x)=W(−eatan⁡(x))f{\left(x \right)} = W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) 
f = LambertW(-exp(atan(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1.00.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
W(−eatan⁡(x))=0W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en LambertW(-exp(atan(x))).
W(−eatan⁡(0))W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}\right)
Resultado:
f(0)=W(−1)f{\left(0 \right)} = W\left(-1\right)
Punto:
(0, LambertW(-1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
W(−eatan⁡(x))(x2+1)(W(−eatan⁡(x))+1)=0\frac{W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right) \left(W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2x+1W(−eatan⁡(x))+1−W(−eatan⁡(x))(W(−eatan⁡(x))+1)2)W(−eatan⁡(x))(x2+1)2(W(−eatan⁡(x))+1)=0\frac{\left(- 2 x + \frac{1}{W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) + 1} - \frac{W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\left(W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) + 1\right)^{2}}\right) W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−41069.8223798147x_{1} = -41069.8223798147
x2=−16493.5068002998x_{2} = -16493.5068002998
x3=−36832.1378652108x_{3} = -36832.1378652108
x4=−38527.2030316865x_{4} = -38527.2030316865
x5=−11410.8062919031x_{5} = -11410.8062919031
x6=−24119.7627899471x_{6} = -24119.7627899471
x7=−34289.565849328x_{7} = -34289.565849328
x8=−13104.8086370154x_{8} = -13104.8086370154
x9=−33442.0497159002x_{9} = -33442.0497159002
x10=−14799.0665598754x_{10} = -14799.0665598754
x11=−37679.6688827459x_{11} = -37679.6688827459
x12=−10563.9352767836x_{12} = -10563.9352767836
x13=−18188.081593776x_{13} = -18188.081593776
x14=−27509.58286084x_{14} = -27509.58286084
x15=−40222.2799534648x_{15} = -40222.2799534648
x16=−21577.5146860699x_{16} = -21577.5146860699
x17=−20730.1278267154x_{17} = -20730.1278267154
x18=−31747.0310832599x_{18} = -31747.0310832599
x19=−15646.2673242893x_{19} = -15646.2673242893
x20=−26662.1141901846x_{20} = -26662.1141901846
x21=−22424.9171811493x_{21} = -22424.9171811493
x22=−24967.2032686839x_{22} = -24967.2032686839
x23=−28357.0593262168x_{23} = -28357.0593262168
x24=−19035.4088837585x_{24} = -19035.4088837585
x25=−12257.7695090526x_{25} = -12257.7695090526
x26=−13951.9109928908x_{26} = -13951.9109928908
x27=−25814.654049329x_{27} = -25814.654049329
x28=−23272.3336853675x_{28} = -23272.3336853675
x29=−29204.542933281x_{29} = -29204.542933281
x30=−19882.7584911886x_{30} = -19882.7584911886
x31=−30899.5293055535x_{31} = -30899.5293055535
x32=−35137.086102663x_{32} = -35137.086102663
x33=−8870.56192258164x_{33} = -8870.56192258164
x34=−9717.1777301814x_{34} = -9717.1777301814
x35=−17340.7796833891x_{35} = -17340.7796833891
x36=−35984.6101936449x_{36} = -35984.6101936449
x37=−32594.5380130001x_{37} = -32594.5380130001
x38=−39374.7401154238x_{38} = -39374.7401154238
x39=−30052.0330999153x_{39} = -30052.0330999153
x40=−41917.3672415507x_{40} = -41917.3672415507

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞W(−eatan⁡(x))=−1eπ2\lim_{x \to -\infty} W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1eπ2y = - \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}
lim⁡x→∞W(−eatan⁡(x))=−eπ2\lim_{x \to \infty} W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = - e^{\frac{\pi}{2}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−eπ2y = - e^{\frac{\pi}{2}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función LambertW(-exp(atan(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(W(−eatan⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(W(−eatan⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
W(−eatan⁡(x))=W(−e−atan⁡(x))W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = W\left(- e^{- \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)
- No
W(−eatan⁡(x))=−W(−e−atan⁡(x))W\left(- e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = - W\left(- e^{- \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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