Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(-100x)*(-50*cos(200x)+25*sin(200x))

Gráfico de la función y = exp(-100x)*(-50*cos(200x)+25*sin(200x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -100*x                                 
f(x) = e      *(-50*cos(200*x) + 25*sin(200*x))
f(x)=(25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100xf{\left(x \right)} = \left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} 
f = (25*sin(200*x) - 50*cos(200*x))*exp(-100*x)
Gráfico de la función
0.0000.0500.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100x=0\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=atan⁡(2)200x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{200}
Solución numérica
x1=90.2477847179558x_{1} = 90.2477847179558
x2=32.2539843326882x_{2} = 32.2539843326882
x3=78.2469007812428x_{3} = 78.2469007812428
x4=30.2747809609266x_{4} = 30.2747809609266
x5=98.2902619111456x_{5} = 98.2902619111456
x6=76.2519894462133x_{6} = 76.2519894462133
x7=6.25730512423266x_{7} = 6.25730512423266
x8=24.2586310293022x_{8} = 24.2586310293022
x9=58.2506635411437x_{9} = 58.2506635411437
x10=40.2493376360742x_{10} = 40.2493376360742
x11=26.2535423643317x_{11} = 26.2535423643317
x12=22.2480117310047x_{12} = 22.2480117310047
x13=66.2460168445298x_{13} = 66.2460168445298
x14=62.2561941744707x_{14} = 62.2561941744707
x15=36.2909308925511x_{15} = 36.2909308925511
x16=12.2577470925892x_{16} = 12.2577470925892
x17=100.253757319639x_{17} = 100.253757319639
x18=10.2471277942917x_{18} = 10.2471277942917
x19=70.2515474778567x_{19} = 70.2515474778567
x20=34.2488956677177x_{20} = 34.2488956677177
x21=48.2500711716505x_{21} = 48.2500711716505
x22=18.2581890609457x_{22} = 18.2581890609457
x23=52.2502215727872x_{23} = 52.2502215727872
x24=46.2497796044307x_{24} = 46.2497796044307
x25=28.2484536993612x_{25} = 28.2484536993612
x26=64.2511055095002x_{26} = 64.2511055095002
x27=20.2531003959752x_{27} = 20.2531003959752
x28=94.2533153512828x_{28} = 94.2533153512828
x29=82.2524314145698x_{29} = 82.2524314145698
x30=84.2473427495993x_{30} = 84.2473427495993
x31=0.256863155876154x_{31} = 0.256863155876154
x32=44.2548682694012x_{32} = 44.2548682694012
x33=80.2575200795402x_{33} = 80.2575200795402
x34=86.2579620478967x_{34} = 86.2579620478967
x35=16.2475697626482x_{35} = 16.2475697626482
x36=42.3699126772473x_{36} = 42.3699126772473
x37=50.2553102377577x_{37} = 50.2553102377577
x38=72.2464588128863x_{38} = 72.2464588128863
x39=8.25221645926218x_{39} = 8.25221645926218
x40=38.2544263010447x_{40} = 38.2544263010447
x41=74.2570781111837x_{41} = 74.2570781111837
x42=2.25177449090567x_{42} = 2.25177449090567
x43=92.2584040162533x_{43} = 92.2584040162533
x44=56.2557522061142x_{44} = 56.2557522061142
x45=60.2455748761733x_{45} = 60.2455748761733
x46=68.2566361428272x_{46} = 68.2566361428272
x47=14.2526584276187x_{47} = 14.2526584276187
x48=54.2608408710847x_{48} = 54.2608408710847
x49=4.24668582593519x_{49} = 4.24668582593519
x50=88.2528733829263x_{50} = 88.2528733829263
x51=96.2482266863123x_{51} = 96.2482266863123
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-100*x)*(-50*cos(200*x) + 25*sin(200*x)).
(−50cos⁡(0⋅200)+25sin⁡(0⋅200))e−0\left(- 50 \cos{\left(0 \cdot 200 \right)} + 25 \sin{\left(0 \cdot 200 \right)}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=−50f{\left(0 \right)} = -50
Punto:
(0, -50)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−100(25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100x+(10000sin⁡(200x)+5000cos⁡(200x))e−100x=0- 100 \left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} + \left(10000 \sin{\left(200 x \right)} + 5000 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(43)200x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{200}
Signos de extremos en los puntos:
                   atan(4/3) 
                   --------- 
 -atan(4/3)            2     
(-----------, -50*e         )
     200


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(43)200x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{200}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−atan⁡(43)200,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{200}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(43)200]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{200}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−250000(11sin⁡(200x)−2cos⁡(200x))e−100x=0- 250000 \left(11 \sin{\left(200 x \right)} - 2 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(211)200x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{11} \right)}}{200}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(211)200]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{11} \right)}}{200}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(211)200,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{11} \right)}}{200}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞((25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-100*x)*(-50*cos(200*x) + 25*sin(200*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100xx)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞((25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100x=(−25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e100x\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} = \left(- 25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{100 x}
- No
(25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e−100x=−(−25sin⁡(200x)−50cos⁡(200x))e100x\left(25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{- 100 x} = - \left(- 25 \sin{\left(200 x \right)} - 50 \cos{\left(200 x \right)}\right) e^{100 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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