Sr Examen

Gráfico de la función y = exp(x*(2+x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        x*(2 + x)
f(x) = e         
f(x)=ex(x+2)f{\left(x \right)} = e^{x \left(x + 2\right)}
f = exp(x*(x + 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002e52
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(x+2)=0e^{x \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x*(2 + x)).
e02e^{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x+2)ex(x+2)=0\left(2 x + 2\right) e^{x \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
      -1 
(-1, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2(x+1)2+1)ex(x+2)=02 \left(2 \left(x + 1\right)^{2} + 1\right) e^{x \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxex(x+2)=\lim_{x \to -\infty} e^{x \left(x + 2\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limxex(x+2)=\lim_{x \to \infty} e^{x \left(x + 2\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x*(2 + x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(ex(x+2)x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x \left(x + 2\right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx(ex(x+2)x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x \left(x + 2\right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(x+2)=ex(2x)e^{x \left(x + 2\right)} = e^{- x \left(2 - x\right)}
- No
ex(x+2)=ex(2x)e^{x \left(x + 2\right)} = - e^{- x \left(2 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar