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exp(-1/x)
Trazado el gráfico de la función/ exp(-1/x)

Gráfico de la función y = exp(-1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -1 
        ---
         x 
f(x) = e
f(x)=e−1xf{\left(x \right)} = e^{- \frac{1}{x}} 
f = exp(-1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−1x=0e^{- \frac{1}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e−1xx2=0\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2+1x)e−1xx3=0\frac{\left(-2 + \frac{1}{x}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((−2+1x)e−1xx3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{1}{x}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+((−2+1x)e−1xx3)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{1}{x}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−1x=1\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{1}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞e−1x=1\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{1}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e−1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-1/x)
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