Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((2x+2)(x-2)(3x-2))^(1/3)

Gráfico de la función y = ((2x+2)(x-2)(3x-2))^(1/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 _____________________________
f(x) = \/ (2*x + 2)*(x - 2)*(3*x - 2)
f(x)=(x−2)(2x+2)(3x−2)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} 
f = (((x - 2)*(2*x + 2))*(3*x - 2))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)(2x+2)(3x−2)3=0\sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=59−9127+103i33−61279127+103i3x_{1} = \frac{5}{9} - \frac{\sqrt[3]{\frac{91}{27} + 10 \sqrt{3} i}}{3} - \frac{61}{27 \sqrt[3]{\frac{91}{27} + 10 \sqrt{3} i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((2*x + 2)*(x - 2))*(3*x - 2))^(1/3).
(−2)(0⋅2+2)(−2+0⋅3)3\sqrt[3]{\left(-2\right) \left(0 \cdot 2 + 2\right) \left(-2 + 0 \cdot 3\right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−2)(2x+2)(3x−2)3((x−2)(2x+2)+(3x−2)(4x−2)3)(x−2)(2x+2)(3x−2)=0\frac{\sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} \left(\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) + \frac{\left(3 x - 2\right) \left(4 x - 2\right)}{3}\right)}{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.312249963989628x_{1} = -0.312249963989628
Signos de extremos en los puntos:
(-0.3122499639896283, 2.10597940652439)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−0.312249963989628x_{1} = -0.312249963989628
Decrece en los intervalos
(−∞,−0.312249963989628]\left(-\infty, -0.312249963989628\right]
Crece en los intervalos
[−0.312249963989628,∞)\left[-0.312249963989628, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
23(x−2)(x+1)(3x−2)3(6x−103−3(x−2)(x+1)+(2x−1)(3x−2)3x−2−3(x−2)(x+1)+(2x−1)(3x−2)3(x+1)−3(x−2)(x+1)+(2x−1)(3x−2)3(x−2)+(3(x−2)(x+1)+(2x−1)(3x−2))(3(x−2)(x+1)+(x−2)(3x−2)+(x+1)(3x−2))9(x−2)(x+1)(3x−2))(x−2)(x+1)(3x−2)=0\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)} \left(6 x - \frac{10}{3} - \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) + \left(2 x - 1\right) \left(3 x - 2\right)}{3 x - 2} - \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) + \left(2 x - 1\right) \left(3 x - 2\right)}{3 \left(x + 1\right)} - \frac{3 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) + \left(2 x - 1\right) \left(3 x - 2\right)}{3 \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) + \left(2 x - 1\right) \left(3 x - 2\right)\right) \left(3 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) + \left(x - 2\right) \left(3 x - 2\right) + \left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)\right)}{9 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(3 x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=24445.5880926726x_{1} = 24445.5880926726
x2=−30626.4830587122x_{2} = -30626.4830587122
x3=41402.7524610798x_{3} = 41402.7524610798
x4=−20450.3721762895x_{4} = -20450.3721762895
x5=−40800.17657849x_{5} = -40800.17657849
x6=27837.5172290537x_{6} = 27837.5172290537
x7=28685.4435141995x_{7} = 28685.4435141995
x8=−16208.5378609253x_{8} = -16208.5378609253
x9=29533.3512666467x_{9} = 29533.3512666467
x10=42250.5034798455x_{10} = 42250.5034798455
x11=−23842.867872667x_{11} = -23842.867872667
x12=34620.484988838x_{12} = 34620.484988838
x13=37163.8967247853x_{13} = 37163.8967247853
x14=38859.4609074896x_{14} = 38859.4609074896
x15=−19602.1365023669x_{15} = -19602.1365023669
x16=−39952.4161733471x_{16} = -39952.4161733471
x17=16811.5086118106x_{17} = 16811.5086118106
x18=39707.231586598x_{18} = 39707.231586598
x19=31229.1172239937x_{19} = 31229.1172239937
x20=32924.8256410311x_{20} = 32924.8256410311
x21=35468.2984652152x_{21} = 35468.2984652152
x22=20204.9605338011x_{22} = 20204.9605338011
x23=25293.6084927538x_{23} = 25293.6084927538
x24=22749.4539659581x_{24} = 22749.4539659581
x25=−25538.9095773635x_{25} = -25538.9095773635
x26=21901.3329925949x_{26} = 21901.3329925949
x27=−28082.7841967955x_{27} = -28082.7841967955
x28=18508.3740693236x_{28} = 18508.3740693236
x29=−13662.3111537713x_{29} = -13662.3111537713
x30=15962.9433744742x_{30} = 15962.9433744742
x31=19356.6975786082x_{31} = 19356.6975786082
x32=−42495.6787419334x_{32} = -42495.6787419334
x33=17659.98125465x_{33} = 17659.98125465
x34=26141.6018297931x_{34} = 26141.6018297931
x35=−37409.0926076118x_{35} = -37409.0926076118
x36=−26386.8904367904x_{36} = -26386.8904367904
x37=15114.2699012415x_{37} = 15114.2699012415
x38=26989.5706604141x_{38} = 26989.5706604141
x39=32076.9780535409x_{39} = 32076.9780535409
x40=13416.5158347575x_{40} = 13416.5158347575
x41=14265.4688181336x_{41} = 14265.4688181336
x42=−34865.6947367114x_{42} = -34865.6947367114
x43=21053.170272419x_{43} = 21053.170272419
x44=33772.6609857318x_{44} = 33772.6609857318
x45=−21298.5578401124x_{45} = -21298.5578401124
x46=−28930.7010654888x_{46} = -28930.7010654888
x47=30381.2420413359x_{47} = 30381.2420413359
x48=40554.9952948154x_{48} = 40554.9952948154
x49=−24690.9029674231x_{49} = -24690.9029674231
x50=38011.6827902157x_{50} = 38011.6827902157
x51=23597.5377045074x_{51} = 23597.5377045074
x52=36316.1021534947x_{52} = 36316.1021534947

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[36316.1021534947,∞)\left[36316.1021534947, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−42495.6787419334]\left(-\infty, -42495.6787419334\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−2)(2x+2)(3x−2)3=∞−63\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} = \infty \sqrt[3]{-6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−63y = \infty \sqrt[3]{-6}
lim⁡x→∞(x−2)(2x+2)(3x−2)3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((2*x + 2)*(x - 2))*(3*x - 2))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(2x+2)(3x−2)3x)=−−63\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−63xy = - \sqrt[3]{-6} x
lim⁡x→∞((x−2)(2x+2)(3x−2)3x)=63\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)}}{x}\right) = \sqrt[3]{6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=63xy = \sqrt[3]{6} x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)(2x+2)(3x−2)3=(2−2x)(−3x−2)(−x−2)3\sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} = \sqrt[3]{\left(2 - 2 x\right) \left(- 3 x - 2\right) \left(- x - 2\right)}
- No
(x−2)(2x+2)(3x−2)3=−(2−2x)(−3x−2)(−x−2)3\sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(2 x + 2\right) \left(3 x - 2\right)} = - \sqrt[3]{\left(2 - 2 x\right) \left(- 3 x - 2\right) \left(- x - 2\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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