Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+4)/e^(x+4)
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
Expresiones idénticas
- uno +ln(x/(x+ dos))
- 1 más ln(x dividir por (x más 2))
- uno más ln(x dividir por (x más dos))
- 1+lnx/x+2
- 1+ln(x dividir por (x+2))
-
Expresiones semejantes
- 1+ln(x/(x-2))
- (1+ln)x/(x+2)
- (1+ln*(x/(x+2)))
- 1-ln(x/(x+2))
-
Expresiones con funciones
- ln
- lnx/x^(1/2)
- ln(x)+x
- ln(x/(x+1))
- lnx/x^1/2
- ln(x)/x^(1/2)
Gráfico de la función y = 1+ln(x/(x+2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
f(x) = 1 + log|-----|
\x + 2/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1$$
f = log(x/(x + 2)) + 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{-1 + e}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.16395341373865$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{-1 + e}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.16395341373865$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + log(x/(x + 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1 = \log{\left(- \frac{x}{2 - x} \right)} + 1$$
- No
$$\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1 = - \log{\left(- \frac{x}{2 - x} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1 = \log{\left(- \frac{x}{2 - x} \right)} + 1$$
- No
$$\log{\left(\frac{x}{x + 2} \right)} + 1 = - \log{\left(- \frac{x}{2 - x} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar