Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{2 x \left(1 - x\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ \/ 2
(1 - \/ 2, ----------------)
2
/ ___\
1 + \1 - \/ 2 /
___
___ -\/ 2
(1 + \/ 2, ----------------)
2
/ ___\
1 + \1 + \/ 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]$$