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(1-x)/(1+x^2)
Trazado el gráfico de la función/ (1-x)/(1+x^2)

Gráfico de la función y = (1-x)/(1+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1 - x 
f(x) = ------
            2
       1 + x
f(x)=1−xx2+1f{\left(x \right)} = \frac{1 - x}{x^{2} + 1} 
f = (1 - x)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−xx2+1=0\frac{1 - x}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - x)/(1 + x^2).
1−002+1\frac{1 - 0}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(1−x)(x2+1)2−1x2+1=0- \frac{2 x \left(1 - x\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−2x_{1} = 1 - \sqrt{2}
x2=1+2x_{2} = 1 + \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
                   ___       
       ___       \/ 2        
(1 - \/ 2, ----------------)
                           2 
                /      ___\  
            1 + \1 - \/ 2 /  

                   ___       
       ___      -\/ 2        
(1 + \/ 2, ----------------)
                           2 
                /      ___\  
            1 + \1 + \/ 2 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+2x_{1} = 1 + \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=1−2x_{1} = 1 - \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−2]∪[1+2,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−2,1+2]\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x−(x−1)(4x2x2+1−1))(x2+1)2=0\frac{2 \left(2 x - \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=2−3x_{2} = 2 - \sqrt{3}
x3=3+2x_{3} = \sqrt{3} + 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]∪[2−3,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2 - \sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2−3]∪[3+2,∞)\left(-\infty, 2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−xx2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - x}{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(1−xx2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x}{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - x)/(1 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−xx(x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - x}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−xx(x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−xx2+1=x+1x2+1\frac{1 - x}{x^{2} + 1} = \frac{x + 1}{x^{2} + 1}
- No
1−xx2+1=−x+1x2+1\frac{1 - x}{x^{2} + 1} = - \frac{x + 1}{x^{2} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (1-x)/(1+x^2)
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