Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ \/ 2
(-1 + \/ 2, -----------------)
2
/ ___\
1 + \-1 + \/ 2 /
___
___ -\/ 2
(-1 - \/ 2, -----------------)
2
/ ___\
1 + \-1 - \/ 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$