Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -(x^2-1)/(x-6)^2+2*x/(x-6)

Gráfico de la función y = -(x^2-1)/(x-6)^2+2*x/(x-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
       - x  + 1    2*x 
f(x) = -------- + -----
              2   x - 6
       (x - 6)
f(x)=2xx−6+1−x2(x−6)2f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}} 
f = (2*x)/(x - 6) + (1 - x^2)/(x - 6)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=6x_{1} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2xx−6+1−x2(x−6)2=0\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=6−35x_{1} = 6 - \sqrt{35}
x2=35+6x_{2} = \sqrt{35} + 6
Solución numérica
x1=11.9160797830996x_{1} = 11.9160797830996
x2=0.083920216900384x_{2} = 0.083920216900384
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^2 + 1)/(x - 6)^2 + (2*x)/(x - 6).
0⋅2−6+1−02(−6)2\frac{0 \cdot 2}{-6} + \frac{1 - 0^{2}}{\left(-6\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=136f{\left(0 \right)} = \frac{1}{36}
Punto:
(0, 1/36)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x(x−6)2+(1−x2)(12−2x)(x−6)4+2x−6=0- \frac{4 x}{\left(x - 6\right)^{2}} + \frac{\left(1 - x^{2}\right) \left(12 - 2 x\right)}{\left(x - 6\right)^{4}} + \frac{2}{x - 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(2xx−6−1−x2−1(x−6)2)(x−6)2=0\frac{6 \left(\frac{2 x}{x - 6} - 1 - \frac{x^{2} - 1}{\left(x - 6\right)^{2}}\right)}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=6x_{1} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2xx−6+1−x2(x−6)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(2xx−6+1−x2(x−6)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2 + 1)/(x - 6)^2 + (2*x)/(x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2xx−6+1−x2(x−6)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2xx−6+1−x2(x−6)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2xx−6+1−x2(x−6)2=−2x−x−6+1−x2(−x−6)2\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}} = - \frac{2 x}{- x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(- x - 6\right)^{2}}
- No
2xx−6+1−x2(x−6)2=2x−x−6−1−x2(−x−6)2\frac{2 x}{x - 6} + \frac{1 - x^{2}}{\left(x - 6\right)^{2}} = \frac{2 x}{- x - 6} - \frac{1 - x^{2}}{\left(- x - 6\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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