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Trazado el gráfico de la función/ 1/(x+x^3)

Gráfico de la función y = 1/(x+x^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   
f(x) = ------
            3
       x + x
f(x)=1x3+xf{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3} + x} 
f = 1/(x^3 + x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x3+x=0\frac{1}{x^{3} + x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x + x^3).
103\frac{1}{0^{3}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2−1(x3+x)2=0\frac{- 3 x^{2} - 1}{\left(x^{3} + x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3+(3x2+1)2x2(x2+1))x(x2+1)2=0\frac{2 \left(-3 + \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{x \left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1x3+x=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{3} + x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1x3+x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} + x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x + x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x3+x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{3} + x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x3+x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{3} + x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x3+x=1−x3−x\frac{1}{x^{3} + x} = \frac{1}{- x^{3} - x}
- No
1x3+x=−1−x3−x\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{1}{- x^{3} - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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