Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
- Límite de la función:
-
(6+x^2+5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Expresiones idénticas
- (seis +x^ dos + cinco *x)/(veinte +x^ dos - doce *x)
- (6 más x al cuadrado más 5 multiplicar por x) dividir por (20 más x al cuadrado menos 12 multiplicar por x)
- (seis más x en el grado dos más cinco multiplicar por x) dividir por (veinte más x en el grado dos menos doce multiplicar por x)
- (6+x2+5*x)/(20+x2-12*x)
- 6+x2+5*x/20+x2-12*x
- (6+x²+5*x)/(20+x²-12*x)
- (6+x en el grado 2+5*x)/(20+x en el grado 2-12*x)
- (6+x^2+5x)/(20+x^2-12x)
- (6+x2+5x)/(20+x2-12x)
- 6+x2+5x/20+x2-12x
- 6+x^2+5x/20+x^2-12x
- (6+x^2+5*x) dividir por (20+x^2-12*x)
-
Expresiones semejantes
- (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
- (6-x^2+5*x)/(20+x^2-12*x)
- (6+x^2+5*x)/(20-x^2-12*x)
- (6+x^2+5*x)/(20+x^2+12*x)
Gráfico de la función y = (6+x^2+5*x)/(20+x^2-12*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2
6 + x + 5*x
f(x) = --------------
2
20 + x - 12*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)}$$
f = (5*x + x^2 + 6)/(-12*x + x^2 + 20)
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 10$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 10$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(12 - 2 x\right) \left(5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right)}{\left(- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)\right)^{2}} + \frac{2 x + 5}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
$$x_{2} = \frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}, \frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}\right] \cup \left[\frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(12 - 2 x\right) \left(5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right)}{\left(- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)\right)^{2}} + \frac{2 x + 5}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
$$x_{2} = \frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ _____\ _____
172 |14 4*\/ 195 | 20*\/ 195
_____ --- + |-- - ---------| - ----------
14 4*\/ 195 17 \17 17 / 17
(-- - ---------, ------------------------------------)
17 17 2
/ _____\ _____
172 |14 4*\/ 195 | 48*\/ 195
--- + |-- - ---------| + ----------
17 \17 17 / 17 2
/ _____\ _____
172 |14 4*\/ 195 | 20*\/ 195
_____ --- + |-- + ---------| + ----------
14 4*\/ 195 17 \17 17 / 17
(-- + ---------, ------------------------------------)
17 17 2
/ _____\ _____
172 |14 4*\/ 195 | 48*\/ 195
--- + |-- + ---------| - ----------
17 \17 17 / 17 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}, \frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{14}{17} - \frac{4 \sqrt{195}}{17}\right] \cup \left[\frac{14}{17} + \frac{4 \sqrt{195}}{17}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt[3]{7605}}{17} - \frac{4 \sqrt[3]{975}}{17} + \frac{14}{17}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 10$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 10^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 10$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \sqrt[3]{7605}}{17} - \frac{4 \sqrt[3]{975}}{17} + \frac{14}{17}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt[3]{7605}}{17} - \frac{4 \sqrt[3]{975}}{17} + \frac{14}{17}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt[3]{7605}}{17} - \frac{4 \sqrt[3]{975}}{17} + \frac{14}{17}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 10$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 10^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 6\right) \left(2 x + 5\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 6\right)^{2}}{x^{2} - 12 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 12 x + 20} + 1\right)}{x^{2} - 12 x + 20}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 10$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \sqrt[3]{7605}}{17} - \frac{4 \sqrt[3]{975}}{17} + \frac{14}{17}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt[3]{7605}}{17} - \frac{4 \sqrt[3]{975}}{17} + \frac{14}{17}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 10$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 10$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (6 + x^2 + 5*x)/(20 + x^2 - 12*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} + 12 x + 20}$$
- No
$$\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = - \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} + 12 x + 20}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} + 12 x + 20}$$
- No
$$\frac{5 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- 12 x + \left(x^{2} + 20\right)} = - \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} + 12 x + 20}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar