Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(n!)

Gráfico de la función y = sqrt(n!)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ____
f(n) = \/ n!
f(n)=n!f{\left(n \right)} = \sqrt{n!} 
f = sqrt(factorial(n))
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje N con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
n!=0\sqrt{n!} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje N:

Solución numérica
n1=−29.7746657669424n_{1} = -29.7746657669424
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando n es igual a 0:
sustituimos n = 0 en sqrt(factorial(n)).
0!\sqrt{0!}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddnf(n)=0\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddnf(n)=\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} =
primera derivada
Γ(n+1)polygamma⁡(0,n+1)2n!=0\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n!}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
n1=0.461632144968363n_{1} = 0.461632144968363
n2=0.461632144968362n_{2} = 0.461632144968362
Signos de extremos en los puntos:
(0.4616321449683626, 0.941064925714952)

(0.46163214496836236, 0.941064925714952)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
n1=0.461632144968363n_{1} = 0.461632144968363
n2=0.461632144968362n_{2} = 0.461632144968362
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.461632144968363,∞)\left[0.461632144968363, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.461632144968362]\left(-\infty, 0.461632144968362\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dn2f(n)=0\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dn2f(n)=\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} =
segunda derivada
(2polygamma⁡2(0,n+1)+2polygamma⁡(1,n+1)−Γ(n+1)polygamma⁡2(0,n+1)n!)Γ(n+1)4n!=0\frac{\left(2 \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)} + 2 \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)} - \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n!}\right) \Gamma\left(n + 1\right)}{4 \sqrt{n!}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
n1=−314.819797937769n_{1} = -314.819797937769

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con n->+oo y n->-oo
lim⁡n→−∞n!=(−∞)!\lim_{n \to -\infty} \sqrt{n!} = \sqrt{\left(-\infty\right)!}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)!y = \sqrt{\left(-\infty\right)!}
lim⁡n→∞n!=∞\lim_{n \to \infty} \sqrt{n!} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(factorial(n)), dividida por n con n->+oo y n ->-oo
lim⁡n→−∞(n!n)=0\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n!}}{n}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡n→∞(n!n)=∞\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n!}}{n}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-n) и f = -f(-n).
Pues, comprobamos:
n!=(−n)!\sqrt{n!} = \sqrt{\left(- n\right)!}
- No
n!=−(−n)!\sqrt{n!} = - \sqrt{\left(- n\right)!}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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