Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt((2x^3)+9x^2)

Gráfico de la función y = sqrt((2x^3)+9x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _____________
         /    3      2 
f(x) = \/  2*x  + 9*x
f(x)=2x3+9x2f{\left(x \right)} = \sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}} 
f = sqrt(2*x^3 + 9*x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x3+9x2=0\sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−92x_{1} = - \frac{9}{2}
x2=−34−33i4−32(−12+3i2)x_{2} = - \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{3} i}{4} - \frac{3}{2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}
x3=−34−32(−12−3i2)+33i4x_{3} = - \frac{3}{4} - \frac{3}{2 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)} + \frac{3 \sqrt{3} i}{4}
Solución numérica
x1=−4.5x_{1} = -4.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2*x^3 + 9*x^2).
2⋅03+9⋅02\sqrt{2 \cdot 0^{3} + 9 \cdot 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+9x2x3+9x2=0\frac{3 x^{2} + 9 x}{\sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
Signos de extremos en los puntos:
         ___ 
(-3, 3*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Crece en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(2x+3∣x∣−3(x+3)2∣x∣x2(2x+9))2x+9=0\frac{3 \left(\frac{2 x + 3}{\left|{x}\right|} - \frac{3 \left(x + 3\right)^{2} \left|{x}\right|}{x^{2} \left(2 x + 9\right)}\right)}{\sqrt{2 x + 9}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞2x3+9x2=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞2x3+9x2=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*x^3 + 9*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x3+9x2x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(2x3+9x2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x3+9x2=−2x3+9x2\sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}} = \sqrt{- 2 x^{3} + 9 x^{2}}
- No
2x3+9x2=−−2x3+9x2\sqrt{2 x^{3} + 9 x^{2}} = - \sqrt{- 2 x^{3} + 9 x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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