Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3-3x^2-2x^2)

Gráfico de la función y = sqrt(3-3x^2-2x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________________
         /        2      2 
f(x) = \/  3 - 3*x  - 2*x
f(x)=−2x2+(3−3x2)f{\left(x \right)} = \sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)} 
f = sqrt(-2*x^2 + 3 - 3*x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2x2+(3−3x2)=0\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−155x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{5}
x2=155x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{5}
Solución numérica
x1=−0.774596669241483x_{1} = -0.774596669241483
x2=0.774596669241483x_{2} = 0.774596669241483
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3 - 3*x^2 - 2*x^2).
−2⋅02+(3−3⋅02)\sqrt{- 2 \cdot 0^{2} + \left(3 - 3 \cdot 0^{2}\right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5x−2x2+(3−3x2)=0- \frac{5 x}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
      ___ 
(0, \/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−5(5x23−5x2+1)3−5x2=0- \frac{5 \left(\frac{5 x^{2}}{3 - 5 x^{2}} + 1\right)}{\sqrt{3 - 5 x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞−2x2+(3−3x2)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞−2x2+(3−3x2)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3 - 3*x^2 - 2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2x2+(3−3x2)x)=−5i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)}}{x}\right) = - \sqrt{5} i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−5ixy = - \sqrt{5} i x
lim⁡x→∞(−2x2+(3−3x2)x)=5i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)}}{x}\right) = \sqrt{5} i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=5ixy = \sqrt{5} i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2x2+(3−3x2)=−2x2+(3−3x2)\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)} = \sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)}
- Sí
−2x2+(3−3x2)=−−2x2+(3−3x2)\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)} = - \sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 - 3 x^{2}\right)}
- No
es decir, función
es
par
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