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y=x/2x-3+x²
Trazado el gráfico de la función/ y=x/2x-3+x²

Gráfico de la función y = y=x/2x-3+x²

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x          2
f(x) = -*x - 3 + x 
       2
f(x)=x2+(xx2−3)f{\left(x \right)} = x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right) 
f = x^2 + x*(x/2) - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+(xx2−3)=0x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
x2=1.4142135623731x_{2} = 1.4142135623731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x/2)*x - 3 + x^2.
(−3+002)+02\left(-3 + 0 \frac{0}{2}\right) + 0^{2}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2+5x2=0\frac{x}{2} + \frac{5 x}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3=03 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+(xx2−3))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+(xx2−3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/2)*x - 3 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+(xx2−3)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+(xx2−3)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+(xx2−3)=3x22−3x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right) = \frac{3 x^{2}}{2} - 3
- No
x2+(xx2−3)=3−3x22x^{2} + \left(x \frac{x}{2} - 3\right) = 3 - \frac{3 x^{2}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x/2x-3+x²
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