Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*sqrt(1-x^2)
-
(1/3)^x
-
(x^3+x)/(x^2+2*x+3)
-
6x^2-x^3
-
Expresiones idénticas
- 2cosx+cos2x
- 2 coseno de x más coseno de 2x
-
Expresiones semejantes
- 2cos(x)+cos(2x)
- 2cosx-cos2x
Gráfico de la función y = 2cosx+cos2x
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = 2*cos(x) + cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
f = 2*cos(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
$$x_{2} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = 32.6119884299841$$
$$x_{2} = 55.3526058705301$$
$$x_{3} = 74.2021617920689$$
$$x_{4} = 13.7624325084453$$
$$x_{5} = 7.47924720126574$$
$$x_{6} = 42.7862352561709$$
$$x_{7} = 17.6534940274526$$
$$x_{8} = -61.6357911777097$$
$$x_{9} = 2344.82418147207$$
$$x_{10} = 51.4615443515228$$
$$x_{11} = -76.5942855802412$$
$$x_{12} = 23.9366793346322$$
$$x_{13} = -23.9366793346322$$
$$x_{14} = -49.0694205633505$$
$$x_{15} = 67.9189764848893$$
$$x_{16} = 70.3111002730616$$
$$x_{17} = -30.2198646418118$$
$$x_{18} = -26.3288031228045$$
$$x_{19} = -70.3111002730616$$
$$x_{20} = -99.3349030207872$$
$$x_{21} = 80.4853470992485$$
$$x_{22} = -74.2021617920689$$
$$x_{23} = 101.72702680896$$
$$x_{24} = 99.3349030207872$$
$$x_{25} = 57.7447296587024$$
$$x_{26} = -5.08712341309343$$
$$x_{27} = -67.9189764848893$$
$$x_{28} = -64.027914965882$$
$$x_{29} = -55.3526058705301$$
$$x_{30} = 114.293397423319$$
$$x_{31} = -20.0456178156249$$
$$x_{32} = 36.5030499489914$$
$$x_{33} = -1.19606189408616$$
$$x_{34} = 20.0456178156249$$
$$x_{35} = 76.5942855802412$$
$$x_{36} = 86.7685324064281$$
$$x_{37} = -32.6119884299841$$
$$x_{38} = 64.027914965882$$
$$x_{39} = -11.370308720273$$
$$x_{40} = 93.0517177136076$$
$$x_{41} = -51.4615443515228$$
$$x_{42} = -101.72702680896$$
$$x_{43} = 26.3288031228045$$
$$x_{44} = 30.2198646418118$$
$$x_{45} = 61.6357911777097$$
$$x_{46} = -17.6534940274526$$
$$x_{47} = 82.8774708874208$$
$$x_{48} = -89.1606561946004$$
$$x_{49} = -93.0517177136076$$
$$x_{50} = -667.213704455122$$
$$x_{51} = 11.370308720273$$
$$x_{52} = 1695.2639710444$$
$$x_{53} = -57.7447296587024$$
$$x_{54} = 38.8951737371637$$
$$x_{55} = 95.44384150178$$
$$x_{56} = -45.1783590443433$$
$$x_{57} = -36.5030499489914$$
$$x_{58} = -95.44384150178$$
$$x_{59} = -80.4853470992485$$
$$x_{60} = -114.293397423319$$
$$x_{61} = -7.47924720126574$$
$$x_{62} = -13.7624325084453$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
$$x_{2} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = 32.6119884299841$$
$$x_{2} = 55.3526058705301$$
$$x_{3} = 74.2021617920689$$
$$x_{4} = 13.7624325084453$$
$$x_{5} = 7.47924720126574$$
$$x_{6} = 42.7862352561709$$
$$x_{7} = 17.6534940274526$$
$$x_{8} = -61.6357911777097$$
$$x_{9} = 2344.82418147207$$
$$x_{10} = 51.4615443515228$$
$$x_{11} = -76.5942855802412$$
$$x_{12} = 23.9366793346322$$
$$x_{13} = -23.9366793346322$$
$$x_{14} = -49.0694205633505$$
$$x_{15} = 67.9189764848893$$
$$x_{16} = 70.3111002730616$$
$$x_{17} = -30.2198646418118$$
$$x_{18} = -26.3288031228045$$
$$x_{19} = -70.3111002730616$$
$$x_{20} = -99.3349030207872$$
$$x_{21} = 80.4853470992485$$
$$x_{22} = -74.2021617920689$$
$$x_{23} = 101.72702680896$$
$$x_{24} = 99.3349030207872$$
$$x_{25} = 57.7447296587024$$
$$x_{26} = -5.08712341309343$$
$$x_{27} = -67.9189764848893$$
$$x_{28} = -64.027914965882$$
$$x_{29} = -55.3526058705301$$
$$x_{30} = 114.293397423319$$
$$x_{31} = -20.0456178156249$$
$$x_{32} = 36.5030499489914$$
$$x_{33} = -1.19606189408616$$
$$x_{34} = 20.0456178156249$$
$$x_{35} = 76.5942855802412$$
$$x_{36} = 86.7685324064281$$
$$x_{37} = -32.6119884299841$$
$$x_{38} = 64.027914965882$$
$$x_{39} = -11.370308720273$$
$$x_{40} = 93.0517177136076$$
$$x_{41} = -51.4615443515228$$
$$x_{42} = -101.72702680896$$
$$x_{43} = 26.3288031228045$$
$$x_{44} = 30.2198646418118$$
$$x_{45} = 61.6357911777097$$
$$x_{46} = -17.6534940274526$$
$$x_{47} = 82.8774708874208$$
$$x_{48} = -89.1606561946004$$
$$x_{49} = -93.0517177136076$$
$$x_{50} = -667.213704455122$$
$$x_{51} = 11.370308720273$$
$$x_{52} = 1695.2639710444$$
$$x_{53} = -57.7447296587024$$
$$x_{54} = 38.8951737371637$$
$$x_{55} = 95.44384150178$$
$$x_{56} = -45.1783590443433$$
$$x_{57} = -36.5030499489914$$
$$x_{58} = -95.44384150178$$
$$x_{59} = -80.4853470992485$$
$$x_{60} = -114.293397423319$$
$$x_{61} = -7.47924720126574$$
$$x_{62} = -13.7624325084453$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \pi$$
$$x_{4} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{7} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{8} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \pi$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \pi$$
$$x_{4} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{7} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{8} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)
-4*pi (-----, -3/2) 3
(-pi, -1)
-2*pi (-----, -3/2) 3
2*pi (----, -3/2) 3
(pi, -1)
4*pi (----, -3/2) 3
(2*pi, 3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \pi$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \pi}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico