Sr Examen

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(x^3+x)/(x^2+2x+3)

Gráfico de la función y = (x^3+x)/(x^2+2x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           3       
          x  + x   
f(x) = ------------
        2          
       x  + 2*x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}$$
f = (x^3 + x)/(x^2 + 2*x + 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + x)/(x^2 + 2*x + 3).
$$\frac{0^{3}}{\left(0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x^{3} + x\right)}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} + 1}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x + 3} + 3 x - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 3}\right)}{x^{2} + 2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 - \frac{\sqrt[3]{324 + 162 \sqrt{2} i}}{3} - \frac{18}{\sqrt[3]{324 + 162 \sqrt{2} i}}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{6} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{3} \right)} - 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{6} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{3} \right)} - 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + x)/(x^2 + 2*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3} = \frac{- x^{3} - x}{x^{2} - 2 x + 3}$$
- No
$$\frac{x^{3} + x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3} = - \frac{- x^{3} - x}{x^{2} - 2 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3+x)/(x^2+2x+3)