Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
-
Expresiones idénticas
- uno /x*lnx^(tres / dos)
- 1 dividir por x multiplicar por lnx en el grado (3 dividir por 2)
- uno dividir por x multiplicar por lnx en el grado (tres dividir por dos)
- 1/x*lnx(3/2)
- 1/x*lnx3/2
- 1/xlnx^(3/2)
- 1/xlnx(3/2)
- 1/xlnx3/2
- 1/xlnx^3/2
- 1 dividir por x*lnx^(3 dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- lnx
- lnx-(-1/3)x
- lnx+1/(sqrtx)
- lnx*(x^2/2)
- lnx−3x
- lnx*sqrtx
Gráfico de la función y = 1/x*lnx^(3/2)
Solución
Ha introducido
[src]
3/2
log (x)
f(x) = ---------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}$$
f = log(x)^(3/2)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}} + \frac{3 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}} + \frac{3 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)
___ -3/2
3/2 3*\/ 6 *e
(e , -------------)
4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{3}{4 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{9}{8} - \frac{\sqrt{57}}{8}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{57}}{8} + \frac{9}{8}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{3}{4 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x^{3}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{3}{4 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x^{3}}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{9}{8} - \frac{\sqrt{57}}{8}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{57}}{8} + \frac{9}{8}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{\frac{9}{8} - \frac{\sqrt{57}}{8}}, e^{\frac{\sqrt{57}}{8} + \frac{9}{8}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{3}{4 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{9}{8} - \frac{\sqrt{57}}{8}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{57}}{8} + \frac{9}{8}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{3}{4 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x^{3}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{3}{4 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x^{3}}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{9}{8} - \frac{\sqrt{57}}{8}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{57}}{8} + \frac{9}{8}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{\frac{9}{8} - \frac{\sqrt{57}}{8}}, e^{\frac{\sqrt{57}}{8} + \frac{9}{8}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^(3/2)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{\frac{3}{2}}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar