Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lnx+1/(sqrtx)

Gráfico de la función y = lnx+1/(sqrtx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  1  
f(x) = log(x) + -----
                  ___
                \/ x
f(x)=log⁡(x)+1xf{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}} 
f = log(x) + 1/(sqrt(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)+1x=0\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x) + 1/(sqrt(x)).
log⁡(0)+10\log{\left(0 \right)} + \frac{1}{\sqrt{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−12xx=0\frac{1}{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x} x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(1/4, 2 - log(4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[14,∞)\left[\frac{1}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,14]\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1x2+34x52=0- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=916x_{1} = \frac{9}{16}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−1x2+34x52)=−∞i\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}\right) = - \infty i
lim⁡x→0+(−1x2+34x52)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,916]\left(-\infty, \frac{9}{16}\right]
Convexa en los intervalos
[916,∞)\left[\frac{9}{16}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(x)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x) + 1/(sqrt(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)+1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)+1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)+1x=log⁡(−x)+1−x\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \log{\left(- x \right)} + \frac{1}{\sqrt{- x}}
- No
log⁡(x)+1x=−log⁡(−x)−1−x\log{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}} = - \log{\left(- x \right)} - \frac{1}{\sqrt{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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