Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ f(x)=-16sinx+3cosx

Gráfico de la función y = f(x)=-16sinx+3cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -16*sin(x) + 3*cos(x)
f(x)=−16sin⁡(x)+3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} 
f = -16*sin(x) + 3*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−16sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=atan⁡(316)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{16} \right)}
Solución numérica
x1=56.734015714612x_{1} = 56.734015714612
x2=−84.6376536969287x_{2} = -84.6376536969287
x3=−65.78809777539x_{3} = -65.78809777539
x4=−9.23943001077368x_{4} = -9.23943001077368
x5=−90.9208390041083x_{5} = -90.9208390041083
x6=19.0349038715345x_{6} = 19.0349038715345
x7=9.61012591076507x_{7} = 9.61012591076507
x8=28.4596818323038x_{8} = 28.4596818323038
x9=12.7517185643549x_{9} = 12.7517185643549
x10=−15.5226153179533x_{10} = -15.5226153179533
x11=−87.7792463505185x_{11} = -87.7792463505185
x12=−6.09783735718389x_{12} = -6.09783735718389
x13=−56.3633198146206x_{13} = -56.3633198146206
x14=85.0083495969201x_{14} = 85.0083495969201
x15=50.4508304074324x_{15} = 50.4508304074324
x16=100.716312864869x_{16} = 100.716312864869
x17=72.4419789825609x_{17} = 72.4419789825609
x18=−59.5049124682104x_{18} = -59.5049124682104
x19=75.5835716361507x_{19} = 75.5835716361507
x20=41.026052446663x_{20} = 41.026052446663
x21=59.8756083682018x_{21} = 59.8756083682018
x22=−34.372171239492x_{22} = -34.372171239492
x23=−72.0712830825696x_{23} = -72.0712830825696
x24=103.857905518459x_{24} = 103.857905518459
x25=3.32694060358549x_{25} = 3.32694060358549
x26=−75.2128757361593x_{26} = -75.2128757361593
x27=−31.2305785859022x_{27} = -31.2305785859022
x28=−68.9296904289798x_{28} = -68.9296904289798
x29=63.0172010217916x_{29} = 63.0172010217916
x30=−18.6642079715431x_{30} = -18.6642079715431
x31=6.46853325717528x_{31} = 6.46853325717528
x32=−62.6465051218002x_{32} = -62.6465051218002
x33=91.2915349040997x_{33} = 91.2915349040997
x34=−46.9385418538512x_{34} = -46.9385418538512
x35=−12.3810226643635x_{35} = -12.3810226643635
x36=78.7251642897405x_{36} = 78.7251642897405
x37=−37.5137638930818x_{37} = -37.5137638930818
x38=−28.0889859323124x_{38} = -28.0889859323124
x39=25.318089178714x_{39} = 25.318089178714
x40=−94.0624316576981x_{40} = -94.0624316576981
x41=−483.619920702832x_{41} = -483.619920702832
x42=−81.4960610433389x_{42} = -81.4960610433389
x43=53.5924230610222x_{43} = 53.5924230610222
x44=−40.6553565466716x_{44} = -40.6553565466716
x45=−24.9473932787227x_{45} = -24.9473932787227
x46=−122.336765540006x_{46} = -122.336765540006
x47=37.8844597930732x_{47} = 37.8844597930732
x48=−78.3544683897491x_{48} = -78.3544683897491
x49=−53.2217271610308x_{49} = -53.2217271610308
x50=−2.9562447035941x_{50} = -2.9562447035941
x51=−97.2040243112879x_{51} = -97.2040243112879
x52=−21.8058006251329x_{52} = -21.8058006251329
x53=0.185347949995695x_{53} = 0.185347949995695
x54=66.1587936753813x_{54} = 66.1587936753813
x55=97.5747202112793x_{55} = 97.5747202112793
x56=88.1499422505099x_{56} = 88.1499422505099
x57=44.1676451002528x_{57} = 44.1676451002528
x58=22.1764965251242x_{58} = 22.1764965251242
x59=31.6012744858936x_{59} = 31.6012744858936
x60=−50.080134507441x_{60} = -50.080134507441
x61=69.3003863289711x_{61} = 69.3003863289711
x62=34.7428671394834x_{62} = 34.7428671394834
x63=−43.7969492002614x_{63} = -43.7969492002614
x64=15.8933112179447x_{64} = 15.8933112179447
x65=−100.345616964878x_{65} = -100.345616964878
x66=81.8667569433303x_{66} = 81.8667569433303
x67=47.3092377538426x_{67} = 47.3092377538426
x68=94.4331275576895x_{68} = 94.4331275576895
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -16*sin(x) + 3*cos(x).
−16sin⁡(0)+3cos⁡(0)- 16 \sin{\left(0 \right)} + 3 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)−16cos⁡(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(163)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{16}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                _____ 
(-atan(16/3), \/ 265 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−atan⁡(163)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{16}{3} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(163)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{16}{3} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−atan⁡(163),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{16}{3} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16sin⁡(x)−3cos⁡(x)=016 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(316)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{16} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[atan⁡(316),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{16} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,atan⁡(316)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{16} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−16sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−19,19⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -19, 19\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−19,19⟩y = \left\langle -19, 19\right\rangle
lim⁡x→∞(−16sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−19,19⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -19, 19\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−19,19⟩y = \left\langle -19, 19\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -16*sin(x) + 3*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−16sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−16sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−16sin⁡(x)+3cos⁡(x)=16sin⁡(x)+3cos⁡(x)- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
- No
−16sin⁡(x)+3cos⁡(x)=−16sin⁡(x)−3cos⁡(x)- 16 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = - 16 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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