Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(410*x+90)

Gráfico de la función y = sin(410*x+90)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(410*x + 90)
f(x)=sin⁡(410x+90)f{\left(x \right)} = \sin{\left(410 x + 90 \right)} 
f = sin(410*x + 90)
Gráfico de la función
0.0000.1000.0100.0200.0300.0400.0500.0600.0700.0800.0902-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(410x+90)=0\sin{\left(410 x + 90 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−941x_{1} = - \frac{9}{41}
x2=−941+π410x_{2} = - \frac{9}{41} + \frac{\pi}{410}
Solución numérica
x1=−4.14267180155603x_{1} = -4.14267180155603
x2=68.7269529195145x_{2} = 68.7269529195145
x3=315.801721492692x_{3} = 315.801721492692
x4=59.9688055949947x_{4} = 59.9688055949947
x5=−99.9612477360447x_{5} = -99.9612477360447
x6=−51.5883832918682x_{6} = -51.5883832918682
x7=5.24379405368176x_{7} = 5.24379405368176
x8=74.1136349572551x_{8} = 74.1136349572551
x9=47.8468554048019x_{9} = 47.8468554048019
x10=−59.595613347969x_{10} = -59.595613347969
x11=92.2505857159064x_{11} = 92.2505857159064
x12=−76.3839779919087x_{12} = -76.3839779919087
x13=62.3671434012718x_{13} = 62.3671434012718
x14=26.5453247292418x_{14} = 26.5453247292418
x15=32.0546055046834x_{15} = 32.0546055046834
x16=−121.868109679004x_{16} = -121.868109679004
x17=102.840051684836x_{17} = 102.840051684836
x18=59.8691941206126x_{18} = 59.8691941206126
x19=181.395192866793x_{19} = 181.395192866793
x20=−53.8181478338063x_{20} = -53.8181478338063
x21=−45.7572808299613x_{21} = -45.7572808299613
x22=2.09453897898565x_{22} = 2.09453897898565
x23=−43.6731022890432x_{23} = -43.6731022890432
x24=71.715297150978x_{24} = 71.715297150978
x25=23.7255537621173x_{25} = 23.7255537621173
x26=−45.6346820922603x_{26} = -45.6346820922603
x27=14.10921527369x_{27} = 14.10921527369
x28=−29.7658079810786x_{28} = -29.7658079810786
x29=−27.7812409145426x_{29} = -27.7812409145426
x30=8.73785807816212x_{30} = 8.73785807816212
x31=96.8327135374837x_{31} = 96.8327135374837
x32=−39.7499426826091x_{32} = -39.7499426826091
x33=99.5835227146514x_{33} = 99.5835227146514
x34=80.2818839478399x_{34} = 80.2818839478399
x35=41.9851032584697x_{35} = 41.9851032584697
x36=83.7529607090013x_{36} = 83.7529607090013
x37=−1.82862062744843x_{37} = -1.82862062744843
x38=−84.2149723625642x_{38} = -84.2149723625642
x39=−37.7500507738605x_{39} = -37.7500507738605
x40=−96.1760117095243x_{40} = -96.1760117095243
x41=97.8977900712617x_{41} = 97.8977900712617
x42=−32.9227254768811x_{42} = -32.9227254768811
x43=6.92186427596509x_{43} = 6.92186427596509
x44=−47.7035357909657x_{44} = -47.7035357909657
x45=−7.79764666926904x_{45} = -7.79764666926904
x46=0.22490822904441x_{46} = 0.22490822904441
x47=64.9800289985257x_{47} = 64.9800289985257
x48=−97.9536934061898x_{48} = -97.9536934061898
x49=−19.7356987529103x_{49} = -19.7356987529103
x50=−68.3307734091699x_{50} = -68.3307734091699
x51=80.7952661619631x_{51} = 80.7952661619631
x52=85.9061010398763x_{52} = 85.9061010398763
x53=−15.8048767253699x_{53} = -15.8048767253699
x54=−55.5881671093655x_{54} = -55.5881671093655
x55=56.0762956729859x_{55} = 56.0762956729859
x56=36.207637744307x_{56} = 36.207637744307
x57=50.0229829989958x_{57} = 50.0229829989958
x58=18.101336670081x_{58} = 18.101336670081
x59=30.0930257014664x_{59} = 30.0930257014664
x60=36.1310135332439x_{60} = 36.1310135332439
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(410*x + 90).
sin⁡(0⋅410+90)\sin{\left(0 \cdot 410 + 90 \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(90)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(90 \right)}
Punto:
(0, sin(90))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
410cos⁡(410x+90)=0410 \cos{\left(410 x + 90 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−941+π820x_{1} = - \frac{9}{41} + \frac{\pi}{820}
x2=−941+3π820x_{2} = - \frac{9}{41} + \frac{3 \pi}{820}
Signos de extremos en los puntos:
   9     pi    
(- -- + ---, 1)
   41   820    

   9    3*pi     
(- -- + ----, -1)
   41   820


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−941+3π820x_{1} = - \frac{9}{41} + \frac{3 \pi}{820}
Puntos máximos de la función:
x1=−941+π820x_{1} = - \frac{9}{41} + \frac{\pi}{820}
Decrece en los intervalos
(−∞,−941+π820]∪[−941+3π820,∞)\left(-\infty, - \frac{9}{41} + \frac{\pi}{820}\right] \cup \left[- \frac{9}{41} + \frac{3 \pi}{820}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−941+π820,−941+3π820]\left[- \frac{9}{41} + \frac{\pi}{820}, - \frac{9}{41} + \frac{3 \pi}{820}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−168100sin⁡(10(41x+9))=0- 168100 \sin{\left(10 \left(41 x + 9\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−941x_{1} = - \frac{9}{41}
x2=−941+π410x_{2} = - \frac{9}{41} + \frac{\pi}{410}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−941]∪[−941+π410,∞)\left(-\infty, - \frac{9}{41}\right] \cup \left[- \frac{9}{41} + \frac{\pi}{410}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−941,−941+π410]\left[- \frac{9}{41}, - \frac{9}{41} + \frac{\pi}{410}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(410x+90)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(410 x + 90 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(410x+90)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(410 x + 90 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(410*x + 90), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(410x+90)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(410 x + 90 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(410x+90)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(410 x + 90 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(410x+90)=−sin⁡(410x−90)\sin{\left(410 x + 90 \right)} = - \sin{\left(410 x - 90 \right)}
- No
sin⁡(410x+90)=sin⁡(410x−90)\sin{\left(410 x + 90 \right)} = \sin{\left(410 x - 90 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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