Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (ln(x))/(x-1)

Gráfico de la función y = (ln(x))/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
       x - 1
f(x)=log⁡(x)x−1f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 1} 
f = log(x)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x−1=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x - 1).
log⁡(0)−1\frac{\log{\left(0 \right)}}{-1}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)(x−1)2+1x(x−1)=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)(x−1)2−2x(x−1)−1x2x−1=0\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=26010.4394470194x_{1} = 26010.4394470194
x2=47421.2737883777x_{2} = 47421.2737883777
x3=42960.0035756155x_{3} = 42960.0035756155
x4=23714.0656658818x_{4} = 23714.0656658818
x5=37353.6239722568x_{5} = 37353.6239722568
x6=30572.4051594668x_{6} = 30572.4051594668
x7=27154.5435328235x_{7} = 27154.5435328235
x8=57395.8511811013x_{8} = 57395.8511811013
x9=52972.5428844475x_{9} = 52972.5428844475
x10=55186.0336066888x_{10} = 55186.0336066888
x11=35100.3878855039x_{11} = 35100.3878855039
x12=32840.2117778149x_{12} = 32840.2117778149
x13=41841.540986492x_{13} = 41841.540986492
x14=50755.1636559578x_{14} = 50755.1636559578
x15=44077.1633734374x_{15} = 44077.1633734374
x16=29435.3895347704x_{16} = 29435.3895347704
x17=40721.7263343787x_{17} = 40721.7263343787
x18=54079.7603366818x_{18} = 54079.7603366818
x19=58499.4441882572x_{19} = 58499.4441882572
x20=39600.5069362153x_{20} = 39600.5069362153
x21=45193.0665481017x_{21} = 45193.0665481017
x22=33971.2077730947x_{22} = 33971.2077730947
x23=48533.6569787172x_{23} = 48533.6569787172
x24=56291.3889071576x_{24} = 56291.3889071576
x25=28296.1456090462x_{25} = 28296.1456090462
x26=49644.9422044791x_{26} = 49644.9422044791
x27=46307.7564368615x_{27} = 46307.7564368615
x28=36227.8345971425x_{28} = 36227.8345971425
x29=31707.310195479x_{29} = 31707.310195479
x30=24863.6732169373x_{30} = 24863.6732169373
x31=38477.8263488123x_{31} = 38477.8263488123
x32=51864.3536728242x_{32} = 51864.3536728242
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2log⁡(x)(x−1)2−2x(x−1)−1x2x−1)=0.666666666666667\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 1}\right) = 0.666666666666667
lim⁡x→1+(2log⁡(x)(x−1)2−2x(x−1)−1x2x−1)=0.666666666666667\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 1}\right) = 0.666666666666667
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x−1=log⁡(−x)−x−1\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 1} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 1}
- No
log⁡(x)x−1=−log⁡(−x)−x−1\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 1} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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