Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 26010.4394470194$$
$$x_{2} = 47421.2737883777$$
$$x_{3} = 42960.0035756155$$
$$x_{4} = 23714.0656658818$$
$$x_{5} = 37353.6239722568$$
$$x_{6} = 30572.4051594668$$
$$x_{7} = 27154.5435328235$$
$$x_{8} = 57395.8511811013$$
$$x_{9} = 52972.5428844475$$
$$x_{10} = 55186.0336066888$$
$$x_{11} = 35100.3878855039$$
$$x_{12} = 32840.2117778149$$
$$x_{13} = 41841.540986492$$
$$x_{14} = 50755.1636559578$$
$$x_{15} = 44077.1633734374$$
$$x_{16} = 29435.3895347704$$
$$x_{17} = 40721.7263343787$$
$$x_{18} = 54079.7603366818$$
$$x_{19} = 58499.4441882572$$
$$x_{20} = 39600.5069362153$$
$$x_{21} = 45193.0665481017$$
$$x_{22} = 33971.2077730947$$
$$x_{23} = 48533.6569787172$$
$$x_{24} = 56291.3889071576$$
$$x_{25} = 28296.1456090462$$
$$x_{26} = 49644.9422044791$$
$$x_{27} = 46307.7564368615$$
$$x_{28} = 36227.8345971425$$
$$x_{29} = 31707.310195479$$
$$x_{30} = 24863.6732169373$$
$$x_{31} = 38477.8263488123$$
$$x_{32} = 51864.3536728242$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 1}\right) = 0.666666666666667$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 1}\right) = 0.666666666666667$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico