Sr Examen

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Gráfico de la función y = (xsqrt(ln(x)))/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           ________
       x*\/ log(x) 
f(x) = ------------
          x - 1    
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1}$$
f = (x*sqrt(log(x)))/(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*sqrt(log(x)))/(x - 1).
$$\frac{0 \sqrt{\log{\left(0 \right)}}}{-1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)$$
Signos de extremos en los puntos:
                            ________________________                
                           /    /    /  -1/2     \\   /  -1/2     \ 
                          /     |    |-e         ||   |-e         | 
     /  -1/2     \  -2*  /   log|-2*W|-------, -1|| *W|-------, -1| 
     |-e         |     \/       \    \   2       //   \   2       / 
(-2*W|-------, -1|, -----------------------------------------------)
     \   2       /                       /  -1/2     \              
                                         |-e         |              
                                 -1 - 2*W|-------, -1|              
                                         \   2       /              


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right), \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2 \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x - 1} + \frac{2 - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{4 x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sqrt(log(x)))/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1} = - \frac{x \sqrt{\log{\left(- x \right)}}}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x - 1} = \frac{x \sqrt{\log{\left(- x \right)}}}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar