Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)$$
Signos de extremos en los puntos:
________________________
/ / / -1/2 \\ / -1/2 \
/ | |-e || |-e |
/ -1/2 \ -2* / log|-2*W|-------, -1|| *W|-------, -1|
|-e | \/ \ \ 2 // \ 2 /
(-2*W|-------, -1|, -----------------------------------------------)
\ 2 / / -1/2 \
|-e |
-1 - 2*W|-------, -1|
\ 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right), \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)\right]$$