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x^e^x
Trazado el gráfico de la función/ x^e^x

Gráfico de la función y = x^e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        / x\
        \E /
f(x) = x
f(x)=xexf{\left(x \right)} = x^{e^{x}} 
f = x^(E^x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002e307
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(E^x).
0e00^{e^{0}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xex(exlog⁡(x)+exx)=0x^{e^{x}} \left(e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xex((log⁡(x)+1x)2ex+log⁡(x)+2x−1x2)ex=0x^{e^{x}} \left(\left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right)^{2} e^{x} + \log{\left(x \right)} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.274972858182512x_{1} = 0.274972858182512

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.274972858182512,∞)\left[0.274972858182512, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.274972858182512]\left(-\infty, 0.274972858182512\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xex=1\lim_{x \to -\infty} x^{e^{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞xex=∞\lim_{x \to \infty} x^{e^{x}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(E^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xexx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{e^{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xexx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{e^{x}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex=(−x)e−xx^{e^{x}} = \left(- x\right)^{e^{- x}}
- No
xex=−(−x)e−xx^{e^{x}} = - \left(- x\right)^{e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^e^x
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