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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((n+1)/(n^2+3))

Gráfico de la función y = arcsin((n+1)/(n^2+3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /n + 1 \
f(n) = asin|------|
           | 2    |
           \n  + 3/
f(n)=asin⁡(n+1n2+3)f{\left(n \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)} 
f = asin((n + 1)/(n^2 + 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje N con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(n+1n2+3)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje N:

Solución numérica
n1=−1n_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando n es igual a 0:
sustituimos n = 0 en asin((n + 1)/(n^2 + 3)).
asin⁡(102+3)\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{0^{2} + 3} \right)}
Resultado:
f(0)=asin⁡(13)f{\left(0 \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Punto:
(0, asin(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddnf(n)=0\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddnf(n)=\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} =
primera derivada
−2n(n+1)(n2+3)2+1n2+3−(n+1)2(n2+3)2+1=0\frac{- \frac{2 n \left(n + 1\right)}{\left(n^{2} + 3\right)^{2}} + \frac{1}{n^{2} + 3}}{\sqrt{- \frac{\left(n + 1\right)^{2}}{\left(n^{2} + 3\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
n1=−3n_{1} = -3
n2=1n_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -asin(1/6))

    pi 
(1, --)
    6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
n1=−3n_{1} = -3
Puntos máximos de la función:
n1=1n_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[−3,1]\left[-3, 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−3]∪[1,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dn2f(n)=0\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dn2f(n)=\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} =
segunda derivada
8n2(n+1)n2+3−6n+(n+1)(2n(n+1)n2+3−1)2(n2+3)(−(n+1)2(n2+3)2+1)−2(n2+3)2−(n+1)2(n2+3)2+1=0\frac{\frac{8 n^{2} \left(n + 1\right)}{n^{2} + 3} - 6 n + \frac{\left(n + 1\right) \left(\frac{2 n \left(n + 1\right)}{n^{2} + 3} - 1\right)^{2}}{\left(n^{2} + 3\right) \left(- \frac{\left(n + 1\right)^{2}}{\left(n^{2} + 3\right)^{2}} + 1\right)} - 2}{\left(n^{2} + 3\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(n + 1\right)^{2}}{\left(n^{2} + 3\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
n1=−4.74897277059013n_{1} = -4.74897277059013
n2=−0.257681423805139n_{2} = -0.257681423805139
n3=2.00380515201852n_{3} = 2.00380515201852

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−4.74897277059013,−0.257681423805139]∪[2.00380515201852,∞)\left[-4.74897277059013, -0.257681423805139\right] \cup \left[2.00380515201852, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−4.74897277059013]∪[−0.257681423805139,2.00380515201852]\left(-\infty, -4.74897277059013\right] \cup \left[-0.257681423805139, 2.00380515201852\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con n->+oo y n->-oo
lim⁡n→−∞asin⁡(n+1n2+3)=0\lim_{n \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡n→∞asin⁡(n+1n2+3)=0\lim_{n \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((n + 1)/(n^2 + 3)), dividida por n con n->+oo y n ->-oo
lim⁡n→−∞(asin⁡(n+1n2+3)n)=0\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)}}{n}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡n→∞(asin⁡(n+1n2+3)n)=0\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)}}{n}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-n) и f = -f(-n).
Pues, comprobamos:
asin⁡(n+1n2+3)=asin⁡(1−nn2+3)\operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - n}{n^{2} + 3} \right)}
- No
asin⁡(n+1n2+3)=−asin⁡(1−nn2+3)\operatorname{asin}{\left(\frac{n + 1}{n^{2} + 3} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - n}{n^{2} + 3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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