Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/(sqrt(x-2))^(2/3)

Gráfico de la función y = x/(sqrt(x-2))^(2/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x      
f(x) = ------------
                2/3
         _______   
       \/ x - 2
f(x)=x(x−2)23f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{\frac{2}{3}}} 
f = x/(sqrt(x - 2))^(2/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.57.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−2)23=0\frac{x}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(sqrt(x - 2))^(2/3).
0(−2)23\frac{0}{\left(\sqrt{-2}\right)^{\frac{2}{3}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2xx−2−3)9(x−2)43=0\frac{2 \left(\frac{2 x}{x - 2} - 3\right)}{9 \left(x - 2\right)^{\frac{4}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=6x_{1} = 6
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(2(2xx−2−3)9(x−2)43)=−∞(−1)23\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 x}{x - 2} - 3\right)}{9 \left(x - 2\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
lim⁡x→2+(2(2xx−2−3)9(x−2)43)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 x}{x - 2} - 3\right)}{9 \left(x - 2\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,6]\left(-\infty, 6\right]
Convexa en los intervalos
[6,∞)\left[6, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−2)23)=∞(−1)23\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞(−1)23y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
lim⁡x→∞(x(x−2)23)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(sqrt(x - 2))^(2/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1x−23=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1x−23=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−2)23=−x−x−23\frac{x}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{\frac{2}{3}}} = - \frac{x}{\sqrt[3]{- x - 2}}
- No
x(x−2)23=x−x−23\frac{x}{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{- x - 2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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