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y=x^3-14x^2+60x-72
Trazado el gráfico de la función/ y=x^3-14x^2+60x-72

Gráfico de la función y = y=x^3-14x^2+60x-72

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2            
f(x) = x  - 14*x  + 60*x - 72
f(x)=(60x+(x3−14x2))−72f{\left(x \right)} = \left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72 
f = 60*x + x^3 - 14*x^2 - 72
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(60x+(x3−14x2))−72=0\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=6x_{2} = 6
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 14*x^2 + 60*x - 72.
−72+((03−14⋅02)+0⋅60)-72 + \left(\left(0^{3} - 14 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 60\right)
Resultado:
f(0)=−72f{\left(0 \right)} = -72
Punto:
(0, -72)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−28x+60=03 x^{2} - 28 x + 60 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=103x_{1} = \frac{10}{3}
x2=6x_{2} = 6
Signos de extremos en los puntos:
       256 
(10/3, ---)
        27 

(6, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=6x_{1} = 6
Puntos máximos de la función:
x1=103x_{1} = \frac{10}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,103]∪[6,∞)\left(-\infty, \frac{10}{3}\right] \cup \left[6, \infty\right)
Crece en los intervalos
[103,6]\left[\frac{10}{3}, 6\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−14)=02 \left(3 x - 14\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=143x_{1} = \frac{14}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[143,∞)\left[\frac{14}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,143]\left(-\infty, \frac{14}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((60x+(x3−14x2))−72)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((60x+(x3−14x2))−72)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 14*x^2 + 60*x - 72, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((60x+(x3−14x2))−72x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((60x+(x3−14x2))−72x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(60x+(x3−14x2))−72=−x3−14x2−60x−72\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72 = - x^{3} - 14 x^{2} - 60 x - 72
- No
(60x+(x3−14x2))−72=x3+14x2+60x+72\left(60 x + \left(x^{3} - 14 x^{2}\right)\right) - 72 = x^{3} + 14 x^{2} + 60 x + 72
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3-14x^2+60x-72
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